18.11 定比分点公式及定比点差法

🟦 定比点差法

定比分点、调和点列与圆锥曲线

定比分点公式以及定比点差法

1. 定比分点公式推导

已知 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，若点 $P(x_0,y_0)$ 满足 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$，求点 $P$ 的坐标。

由 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$，

可得 $\{\begin{array}{l}{x}_0-x_1=\lambda (x_2-x_0)\\ y_0-y_1=\lambda (y_2-y_0)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_0+\lambda x_0=x_1+\lambda x_2\\ y_0+\lambda y_0=y_1+\lambda y_2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_0=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda }\\ y_0=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda }\end{array}$

2. 向量形式的定比分点公式

由向量的定比分点恒等式可知 $\overrightarrow{OP}=\frac{1}{\lambda +1}\overrightarrow{OA}+\frac{\lambda }{\lambda +1}\overrightarrow{OB}$，

即 $\overrightarrow{OP}=\frac{\overrightarrow{OA}+\lambda \overrightarrow{OB}}{1+\lambda }$

3. 定比点差法（椭圆上两点的应用）

当 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$ 为椭圆上的两点，$P(x_0,y_0)$ 为弦 $AB$ 上任意一点时： 设点 $P(x_0,y_0)$ 满足 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$。

若 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$ 在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上，则 $\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1$，$\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1$。

点 $M(x_0,y_0)$ 满足 $\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{MB}$，则 $x_0=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda }$，$y_0=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda }$。

$\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda }$

$\{\begin{array}{l}\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1\\ \frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1\cdots \\ \frac{{\lambda }^2{x}_2^2}{a^2}+\frac{{\lambda }^2{y}_2^2}{b^2}={\lambda }^2\cdots \end{array}$

(1) $-$ (2) 得： $\frac{(x_1+\lambda x_2)(x_1-\lambda x_2)}{a^2}+\frac{(y_1+\lambda y_2)(y_1-\lambda y_2)}{b^2}=(1+\lambda )(1-\lambda )$ $\frac{(x_1+\lambda x_2)(x_1-\lambda x_2)}{(1+\lambda )(1-\lambda )a^2}+\frac{(y_1+\lambda y_2)(y_1-\lambda y_2)}{(1+\lambda )(1-\lambda )b^2}=1$ $\frac{x_0(x_1-\lambda x_2)}{(1-\lambda )a^2}+\frac{y_0(y_1-\lambda y_2)}{(1-\lambda )b^2}=1$ 联立消元后即可用 $(x_0,y_0)$ 与定比 $\lambda$ 表示 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$.

定比点差口诀： 只设三点不设线， 定比分点算分点； 曲线上点代曲线； 乘以 ${\lambda }^2$ 后再作差； 作差之后代公式。

9.2 定点分比题型归纳

类型1:

点 $M(x_0,y_0)$ 满足 $\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{MB}$ 若 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上，则 $\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1$，$\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1$。 点 $M(x_0,y_0)$ 满足 $\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{MB}$，则 $\{\begin{array}{l}{x}_0=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda }\\ y_0=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda }\end{array}$ 因此： $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=\frac{{\left(\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda }\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda }\right)}^2}{b^2}$ $=\frac{1}{(1+\lambda {)}^2}\left(\frac{x_1^2+2\lambda x_1{x}_2+{\lambda }^2{x}_2^2}{a^2}+\frac{y_1^2+2\lambda y_1{y}_2+{\lambda }^2{y}_2^2}{b^2}\right)$ $=\frac{1}{(1+\lambda {)}^2}\left(\left(\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}\right)+{\lambda }^2\left(\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}\right)+2\lambda \left(\frac{x_1{x}_2}{a^2}+\frac{y_1{y}_2}{b^2}\right)\right)$ $=\frac{1}{(1+\lambda {)}^2}\left(1+{\lambda }^2+2\lambda \left(\frac{x_1{x}_2}{a^2}+\frac{y_1{y}_2}{b^2}\right)\right)$ 如果可以求… 求出 $\frac{x_1{x}_2}{a^2}+\frac{y_1{y}_2}{b^2}$ 的值，那么点 $M(x_0,y_0)$ 的轨迹就是椭圆。

类型 2:

存在定点 $P(x_0,y_0)$，动点 $Q(x,y)$ 满足定比条件 条件：$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上，定点 $P(x_0,y_0)$ 满足 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$，动点 $Q(x,y)$ 满足 $\overrightarrow{AQ}=-\lambda \overrightarrow{QB}$，则 $Q$ 的轨迹为直线 $\frac{x{x}_0}{a^2}+\frac{y{y}_0}{b^2}=1$（即 $P,A,Q,B$ 成调和点列）。 推导过程： - 由 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$，得： $x_0=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda },y_0=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda }$ - 由 $\overrightarrow{AQ}=-\lambda \overrightarrow{QB}$，得： $x=\frac{x_1-\lambda x_2}{1-\lambda },y=\frac{y_1-\lambda y_2}{1-\lambda }$ - 计算： $\frac{x{x}_0}{a^2}+\frac{y{y}_0}{b^2}=\frac{1}{a^2}\cdot \frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda }\cdot \frac{x_1-\lambda x_2}{1-\lambda }+\frac{1}{b^2}\cdot \frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda }\cdot \frac{y_1-\lambda y_2}{1-\lambda }$ $=\frac{1}{1-{\lambda }^2}\left(\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}-{\lambda }^2\left(\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}\right)\right)=1$ 此时动点 $Q$ 在直线 $\frac{x{x}_0}{a^2}+\frac{y{y}_0}{b^2}=1$ 上（与极点极线结论一致）。 注意：此条件还可以表述为：$\frac{|AP|}{|BP|}=\frac{|AQ|}{|QB|}=\lambda$（调和点列）。

类型 3:

曲线上两点 $M,N$ 满足双定比条件 条件：$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$ 在双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 上，定点 $P(x_0,y_0)$ 和定点 $Q(s,t)$ 满足 $\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{MQ},\overrightarrow{AN}=\mu \overrightarrow{NQ}$，且 $\lambda +\mu$ 为定值。 推导： - 由 $\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{MQ}$，得： $x_1=\frac{x_0+\lambda s}{1+\lambda },y_1=\frac{y_0+\lambda t}{1+\lambda }$ - 代入双曲线方程 $\frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=1$ 即可进行后续化简。 $1=\frac{1}{(1+\lambda {)}^2}\left(\frac{x_0^2+2\lambda s{x}_0+{\lambda }^2{s}^2}{a^2}-\frac{y_0^2+2\lambda t{y}_0+{\lambda }^2{t}^2}{b^2}\right)$ 将 $\lambda$ 作为未知数整理，可得： $\left(\frac{s^2}{a^2}-\frac{t^2}{b^2}\right){\lambda }^2+2\left(\frac{s{x}_0-t{y}_0}{a^2}\right)\lambda +\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}-(1+\lambda {)}^2=0$ 即： $\left(\frac{s^2}{a^2}-\frac{t^2}{b^2}-1\right){\lambda }^2+2\left(\frac{s{x}_0-t{y}_0}{a^2}-1\right)\lambda +\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}-1=0$ 同理，对于点 $N(x_2,y_2)$： 由 $\overrightarrow{AN}=\mu \overrightarrow{NQ}$，

得： $\{\begin{array}{l}{x}_2=\frac{x_0+\mu s}{1+\mu }\\ y_2=\frac{y_0+\mu t}{1+\mu }\end{array}$ 代入双曲线方程 $\frac{x_2^2}{a^2}-\frac{y_2^2}{b^2}=1$， 可得： $1=\frac{1}{(1+\mu {)}^2}\left(\frac{x_0^2+2\mu s{x}_0+{\mu }^2{s}^2}{a^2}-\frac{y_0^2+2\mu t{y}_0+{\mu }^2{t}^2}{b^2}\right)$ 将 $\mu$ 作为未知数整理，

可得： $\left(\frac{s^2}{a^2}-\frac{t^2}{b^2}-1\right){\mu }^2+2\left(\frac{s{x}_0-t{y}_0}{a^2}-1\right)\mu +\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}-1=0$ 所以，$\lambda ,\mu$ 为方程 $\left(\frac{s^2}{a^2}-\frac{t^2}{b^2}-1\right)x^2+2\left(\frac{s{x}_0-t{y}_0}{a^2}-1\right)x+\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}-1=0$ 的两根。

由韦达定理： $\lambda +\mu =-\frac{2\left(\frac{s{x}_0-t{y}_0}{a^2}-1\right)}{\frac{s^2}{a^2}-\frac{t^2}{b^2}-1}$

2. 调和点列的概念

点 $P$ 在线段 $AB$ 上，满足 $\frac{|\overrightarrow{AP}|}{|\overrightarrow{PB}|}=\lambda (\lambda >0)$ 的点 $P$ 唯一； 若改为直线 $AB$，满足 $\frac{AP}{PB}=\frac{AQ}{QB}=\lambda (\lambda \ne 1)$，则称 $A,P,B,Q$ 为调和点列，$P,Q$ 调和分割点 $A,B$。 若 $\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{MB}$ 且 $\overrightarrow{AN}=-\lambda \overrightarrow{NB}$，则 $M,N$ 调和分割 $A,B$，同时 $A,B$ 也调和分割 $M,N$。

3. 定比分点和调和点列支配下的圆锥曲线

定理1（椭圆/双曲线）

设 $A,B$ 为椭圆或双曲线上两点，若存在 $P,Q$ 满足 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB},\overrightarrow{AQ}=-\lambda \overrightarrow{QB}$，则 $\frac{{\mathbf{x}}_{\mathbf{P}}{\mathbf{x}}_{\mathbf{Q}}}{{\mathbf{a}}^2}\pm \frac{{\mathbf{y}}_{\mathbf{P}}{\mathbf{y}}_{\mathbf{Q}}}{{\mathbf{b}}^2}=1$

定理2（抛物线）

抛物线 $y^2=2px$ 中，$A,B$ 为抛物线上两点，若存在 $P,Q$ 满足 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB},\overrightarrow{AQ}=-\lambda \overrightarrow{QB}$，则 ${\mathbf{y}}_{\mathbf{P}}{\mathbf{y}}_{\mathbf{Q}}=\mathbf{p}({\mathbf{x}}_{\mathbf{P}}+{\mathbf{x}}_{\mathbf{Q}})$

4. 轴点弦与定比点差法妙用

类型一

定点在 $x$ 轴 过定点 $P(x_P,0)$ 的直线与椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 交于 $A,B$，设 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}(\lambda \ne \pm 1)$， 则直线 $AB$ 上必存在点 $Q$ 满足 $\overrightarrow{AQ}=-\lambda \overrightarrow{QB}$，由定比点差法得： ${\mathbf{x}}_{\mathbf{Q}}=\frac{{\mathbf{a}}^2}{{\mathbf{x}}_{\mathbf{P}}}$

类型二

定点在$y$轴 过定点 $P(0,y_P)$ 的直线与椭圆 $\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{a}}^2}+\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{b}}^2}=1(\mathbf{a}>\mathbf{b}>0)$ 交于 $A、B$，设 $\overrightarrow{\mathbf{AP}}=\mathbf{\lambda }\overrightarrow{\mathbf{PB}}(\mathbf{\lambda }\ne \pm 1)$， 则直线 $AB$ 上必存在点 $Q$ 满足 $\overrightarrow{\mathbf{AQ}}=-\mathbf{\lambda }\overrightarrow{\mathbf{QB}}$，由定比点差法得： ${\mathbf{y}}_{\mathbf{Q}}=\frac{{\mathbf{b}}^2}{{\mathbf{y}}_{\mathbf{P}}}$ 联立等式（三炮齐鸣，天下太平）： $\{\begin{array}{l}{y}_1=\frac{y_P+y_Q}{2}+\frac{y_P-y_Q}{2}\cdot \lambda \\ y_2=\frac{y_P+y_Q}{2}+\frac{y_P-y_Q}{2\lambda }\\ x_1+\lambda x_2=0\end{array}$

类型三

抛物线三炮齐鸣 过定点 $P(m,0)$ 的直线 $AB$ 与抛物线 ${\mathbf{y}}^2=2\mathbf{px}(\mathbf{p}>0)$ 相交，设 $\overrightarrow{\mathbf{AP}}=\mathbf{\lambda }\overrightarrow{\mathbf{PB}}$，则： $\{\begin{array}{l}m=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda }\\ -m=\frac{x_1-\lambda x_2}{1-\lambda }\\ y_1=-\lambda y_2\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{x}_1=m\lambda \\ x_2=\frac{m}{\lambda }\\ y_1=-\lambda y_2\end{array}$

5. 中点截距定理“1+1类型”

椭圆 $\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{a}}^2}+\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{b}}^2}=1(\mathbf{a}>\mathbf{b}>0)$，$A、B$ 为椭圆上两点，$P(m,0)$ 在 $x$ 轴上，存在直线 $x=n$、点 $Q$，$BQ$ 延长交 $x=n$ 于 $M$，则：

(1) $\mathbf{n}=\frac{{\mathbf{a}}^2}{\mathbf{m}}$

(2) 直线 $\mathbf{AM}\parallel \mathbf{x}$ 轴

(3) ${\mathbf{x}}_{\mathbf{Q}}=\frac{\mathbf{m}+\frac{{\mathbf{a}}^2}{\mathbf{m}}}{2}$

6. 圆锥曲线角平分线定理“1+1类型”

$AB$ 交椭圆 $\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{a}}^2}+\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{b}}^2}=1(\mathbf{a}>\mathbf{b}>0)$ 长轴(短轴)于点 $P$，$B,B^{\prime }$ 是椭圆上关于长轴(短轴)对称的两点。

圆锥曲线角平分线定理

$AB$ 交椭圆长轴(短轴)于 $P$，$B,B^{\prime }$ 关于长轴(短轴)对称，直线 $A{B}^{\prime }$ 交长轴(短轴)于 $Q$，则 $\frac{{\mathbf{x}}_{\mathbf{P}}{\mathbf{x}}_{\mathbf{Q}}}{{\mathbf{a}}^2}=1\text{或}\frac{{\mathbf{y}}_{\mathbf{P}}{\mathbf{y}}_{\mathbf{Q}}}{{\mathbf{b}}^2}=1$ 双曲线具有相同性质，抛物线相关结论前文已给出。

7. 轴点弦引双线「1+2」类型

一条轴点弦可得到三炮齐鸣的两个点坐标；当两点分属不同直线时，其交点会产生特殊定值，为高考高频模型。 由单参数 $\mathbf{\lambda }$ 引出两条直线，解题常用两次三点共线或两直线斜率关系，称为1+2类型。

8. 焦弦常数与蝴蝶定理「2+1」类型

焦弦常数 $P$ 为椭圆/双曲线上任一点，过焦点 $F_1,F_2$ 作弦 $PA,PB$，满足 $\overrightarrow{P{F}_1}=\lambda \overrightarrow{F_{1}A},\overrightarrow{P{F}_2}=\mu \overrightarrow{F_{2}B}$，则 $\mathbf{\lambda }+\mathbf{\mu }=\frac{2({\mathbf{a}}^2+{\mathbf{c}}^2)}{{\mathbf{a}}^2-{\mathbf{c}}^2}=\frac{2(1+{\mathbf{e}}^2)}{1-{\mathbf{e}}^2}$

推广：焦点替换为 $M_1(-m,0),M_2(m,0)$，则 $\mathbf{\lambda }+\mathbf{\mu }=\frac{2({\mathbf{a}}^2+{\mathbf{m}}^2)}{{\mathbf{a}}^2-{\mathbf{m}}^2}$

坎迪定理（椭圆蝴蝶定理）

$A,B,C,D$ 为椭圆上动点，$M(m,0),H\left(\frac{a^2}{m},0\right)$，$AC$ 与 $BD$ 交于点 $M$，则 $\frac{1}{\mathbf{MG}}-\frac{1}{\mathbf{ME}}=\frac{1}{\mathbf{M}{\mathbf{A}}_2}-\frac{1}{\mathbf{M}{\mathbf{A}}_1},\frac{{\mathbf{k}}_{\mathbf{AB}}}{{\mathbf{k}}_{\mathbf{CD}}}=\frac{\mathbf{HG}}{\mathbf{HE}}$