20.17 恒成立问题——变换主元法

🟦变换主元法

【方法总结 】 考虑不等式组 $\{\begin{array}{ll}{f}^{\prime }(x_0)=0& \text{(1)}\\ f(x_0)\ge 0& \text{(2)}\end{array}$ 其中 $f^{\prime }(x_0)$和 $f(x_0)$ 均含有参数 $a$。

有两种方式处理如上不等式组：

1. 若(1)中的参数 $a$ 和 $x_0$ 容易分离，则首先在(1)中用零点 $x_0$ 表示参数 $a$，然后代入(2)来确定零点 $x_0$ 的取值范围，最后利用获得的零点 $x_0$ 的范围和(1)式确定参数 $a$ 的取值范围。
2. 若(1)不容易分离参数 $a$ 和 $x_0$ 或分离后结构复杂，则首先猜测方程组 $\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(x_0)=0\\ f(x_0)=0\end{array}$ 的解 $x_0$，然后由 $f(x_0)\ge 0$ 和端点效应解出 $a$ 的取值范围（该范围为最终的答案），最后证明在该范围下 $f(x)\ge 0$ 恒成立。

【利用变换主元法处理恒成立问题】 如果函数的导数非常复杂，则考虑变换主元法： (1) 首先由端点效应初步获得参数的取值范围，验证这个范围是否为最终范围；若不是，则判断函数的极值并获取参数的取值范围； (2) 根据主元函数的形式，判断主元函数的单调性，然后求主元函数的最值（此最值应当是一个函数），最后判断该最值函数是否满足题中的不等式。