2007-辽宁卷文-22 解-三次函数主元恒成立

本题导读

本题考查导数的运算。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(文)） 已知函数 $f(x)=x^3-9x^2\cos \alpha +48x\cos \beta +18{\sin }^2\alpha$，$g(x)=f^{\prime }(x)$，且对任意的实数 $t$ 均有 $g(1+\cos t)⩾0$，$g(3+\sin t)⩽0$．

🔍【思路分析】

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1. $1+\cos t\in [0,2]$，$3+\sin t\in [2,4]$，故 $g$ 在 $[0,2]$ 上非负、在 $[2,4]$ 上非正。
2. 取特值：$g(2)⩾0$ 且 $g(2)⩽0$ 得 $g(2)=0$；$g(4)⩽0$。两式联立消去 $\cos \beta$ 定 $\cos \alpha$。
3. （2）移项后左边 $h(m)=mx-9x^2+24x+11$ 是 $m$ 的一次函数：按 $x$ 的符号分三段讨论，最小值在 $m=-26$ 或 $m=6$ 处取得。

✅【答案】

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(1)$f(x)=x^3-9x^2+24x$；(2)$x$ 的取值范围为 $\left[-\frac{1}{3},1\right]$

✍【详细解析】

Abstract

（2）若对任意的 $m\in [-26,6]$，恒有 $f(x)⩾x^3-mx-11$，求 $x$ 的取值范围．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数主元恒成立

核心方法：特值定 g(2)=0，两式相减定参数；对 m 恒成立时把 m 当主元

避坑指南：1+cos t 与 3+sin t 的值域 [0,2]、[2,4] 是条件翻译的关键；g(4)-g(2) 消去 cosβ 定出 cosα=1；第(2)问 h(m) 的一次性按 x 符号分三段讨论，x=0 单独验证

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2007 辽宁卷压轴（排印争议题：原卷印本作 x²，官方评分参考按 x³ 求解，本库从官方口径）

结论推广：线性函数 g 在 [0,2] 非负、[2,4] 非正 ⟺ g(x)=k(x-2) 且 k≤0，本题加强为 g(4)≤0 后 k 唯一

方法推广：“对任意 m∈[a,b] 恒成立”而式子关于 m 是一次的——变换主元，按参数符号讨论端点，一次函数在区间端点取最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.04 三次函数性质全总结
• 20.17 恒成立问题——变换主元法

类题演练(Links)

• 2008-大纲卷II文-21 解-三次函数极值与最值恒成立
• 2008-浙江卷文-21 解-三次函数切线最值
• 2008-江苏卷-14 填-三次函数恒成立
• 2012-湖南卷文-22 解-导数恒成立与中值定理