2007-上海卷文-10 填-复数范围命题

本题导读

本题考查复数的运算，以及复数范围内的命题判断。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(文)） 对于非零实数 $a$，$b$，以下四个命题都成立： ① $a+\frac{1}{a}\ne 0$；　② $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$； ③ 若 $|a|=|b|$，则 $a=\pm b$；　④ 若 $a^2=ab$，则 $a=b$. 那么，对于非零复数 $a$，$b$，仍然成立的命题的所有序号是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 数集扩充后逐条检验：①取 $a=\mathrm{i}$；③取 $a=1$，$b=\mathrm{i}$ 找反例。
2. ②是运算律，对复数仍成立。
3. ④由 $a^2=ab$ 移项因式分解，用 $a\ne 0$ 消去 $a$。

✅【答案】

点击查看答案

②④

✍【详细解析】

Abstract

命题①在复数范围内不一定成立．例如取 $a=\mathrm{i}$，则 $a+\frac{1}{a}=\mathrm{i}-\mathrm{i}=0$． 命题②是复数的乘法分配律和交换律的直接推论，对任意复数 $a,b$ 都成立． 命题③不一定成立．例如取 $a=1$，$b=\mathrm{i}$，则 $|a|=|b|=1$，但 $a\ne b$ 且 $a\ne -b$． 命题④中，由 $a^2=ab$ 得 $a(a-b)=0$．因为 $a\ne 0$，所以 $a=b$，对任意非零复数仍成立．因此仍然成立的命题序号为②、④． （易错点：实数范围内"$|a|=|b|\Rightarrow a=\pm b$"与”$a^2\ne 0$ 则可约去”等直觉在复数范围会失效；模相等只说明点到原点距离相等，方向可任意。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数范围命题

核心方法：数集扩充后逐条找反例或证明

避坑指南：实数范围的直觉在复数范围会失效：|a|=|b| 推不出 a=±b（模等方向可不同）；a+1/a 可以等于 0（a=±i）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”数系的扩充与复数”

结论推广：复数乘法满足交换律分配律，但复数不能比较大小、模相等不代表相等

方法推广：判断”推广到复数仍成立”的命题，标准动作是逐条举反例；运算律类命题通常保留

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练(Links)

• 2010-上海卷文-04 填-共轭复数运算
• 2010-四川卷文-16 填-封闭集新定义
• 2010-北京卷文-02 单-复数中点