2007-上海卷文-16 解-正四棱锥体积

本题导读

本题考查正四棱锥的体积。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(文)） 在正四棱锥 $P-ABCD$ 中，$PA=2$，直线 $PA$ 与平面 $ABCD$ 所成的角为 $60^{\circ }$，求正四棱锥 $P-ABCD$ 的体积 $V$.

🔍【思路分析】

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1. 作 $PO\perp$ 底面 $ABCD$，则 $\angle PAO$ 就是 $PA$ 与底面所成的角。
2. 在 Rt$△PAO$ 中由 $PA=2$、$\angle PAO=60^{\circ }$ 求 $PO$ 与 $AO$。
3. 由 $AO$ 是对角线的一半求底面边长，再代入棱锥体积公式。

✅【答案】

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$V=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

作 $PO\perp$ 平面 $ABCD$，垂足为 $O$．连接 $AO$，$O$ 是正方形 $ABCD$ 的中心，$\angle PAO$ 是直线 $PA$ 与平面 $ABCD$ 所成的角，$\angle PAO=60^{\circ }$． 在直角三角形 $PAO$ 中， $PO=PA\sin 60^{\circ }=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3},$ $AO=PA\cos 60^{\circ }=2\cdot \frac{1}{2}=1.$ 设正方形边长为 $s$，则 $AO$ 是其对角线的一半，故 $AO=\frac{\sqrt{2}}{2}s$，从而 $s=\sqrt{2}$．底面积为 $s^2=2$，所以 $V=\frac{1}{3}{s}^2\cdot PO=\frac{1}{3}\cdot 2\cdot \sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正四棱锥体积

核心方法：线面角定高，再求底面积

避坑指南：PA 与底面所成角是 PA 与其射影 AO 的夹角；底面对角线一半 AO=√2/2·s，由 AO 求 s 别除错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”棱锥的体积”

结论推广：V=1/3·S·h；正四棱锥的高、斜高、底面边长构成直角三角形

方法推广：线面角问题先作射影，把角放进直角三角形里算

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练(Links)

• 2010-上海卷文-06 填-四棱锥体积
• 2010-北京卷文-08 单-正方体三棱锥体积
• 2010-大纲卷I文-12 单-球内四面体体积