2010-北京卷文-08 单-正方体三棱锥体积

本题导读

考查体积的影响因素。$△EFQ$ 面积恒定、所在平面固定，体积只随 $P$ 的位置 $x$ 变化，与 $y$ 无关，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年北京卷(文)） 如图，正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的棱长为 $2$，动点 $E$，$F$ 在棱 $A_1{B}_1$ 上.点 $Q$ 是棱 $CD$ 的中点，动点 $P$ 在棱 $AD$ 上，若 $EF=1$，$DP=x$，$A_{1}E=y$（$x,y$ 大于零），则三棱锥 $P-EFQ$ 的体积()

A. 与 $x,y$ 都有关　　　　　　　　　　B. 与 $x,y$ 都无关

C. 与 $x$ 有关，与 $y$ 无关　　　　　　　D. 与 $y$ 有关，与 $x$ 无关

🔍【思路分析】

破题导航

1. $E,F$ 都在定直线 $A_1{B}_1$ 上，$Q$ 是定点，故平面 $EFQ$ 是定平面。
2. $S_{△EFQ}=\frac{1}{2}\cdot EF\cdot d(Q,A_1{B}_1)=\frac{1}{2}\times 1\times$ 定值，与 $y$ 无关。
3. $V=\frac{1}{3}{S}_{△EFQ}\cdot h$，$h$ 是 $P$ 到定平面的距离，随 $DP=x$ 变化。
4. 故体积与 $x$ 有关，与 $y$ 无关。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $E,F$ 都在棱 $A_1{B}_1$ 所在直线上，而 $Q$ 是定点， 所以无论 $E,F$ 怎样移动，平面 $EFQ$ 始终是由定直线 $A_1{B}_1$ 与定点 $Q$ 确定的同一个平面。 又 $EF=1$ 为定长，$Q$ 到直线 $A_1{B}_1$ 的距离为定值，故 $S_{△EFQ}=\frac{1}{2}\times EF\times d(Q,\text{直线 }{A}_1{B}_1)$ 为定值，与 $E$ 的位置 $y=A_{1}E$ 无关。 三棱锥体积 $V=\frac{1}{3}{S}_{△EFQ}\cdot h$， 其中 $h$ 是点 $P$ 到该定平面的距离，随 $P$ 在棱 $AD$ 上的位置（即 $DP=x$）而变化。 所以体积与 $x$ 有关，与 $y$ 无关，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：棱锥体积的变量分析

核心方法：底面与平面固定则面积固定，体积只随高变化

避坑指南：$E,F$ 在线段 $A_1{B}_1$ 上滑动时，平面 $EFQ$ 始终是由定直线与定点确定的同一个平面——看出”平面不动”是本题题眼，误以为 $E,F$ 动则体积变会错选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三棱锥体积 $V=\frac{1}{3}Sh$，分析变量时把 $S$ 与 $h$ 拆开看。

结论推广：一条直线与直线外一点确定唯一平面，这是”动中有定”的几何依据。

方法推广：动点问题的常用策略：先找不变量（定直线、定平面、定距离）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-18 解-向量垂直与三棱锥体积
• 2009-辽宁卷文-16 填-三视图三棱锥体积
• 2009-新课标卷文-09 单-正方体动点判定
• 2011-陕西卷文-05 单-正方体挖圆锥三视图