2007-上海卷文-21 解-果圆距离最值

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与性质。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(文)） 我们把由半椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$x⩾0$）与半椭圆 $\frac{y^2}{b^2}+\frac{x^2}{c^2}=1$（$x⩽0$）合成的曲线称作”果圆”，其中 $a^2=b^2+c^2$，$a>0$，$b>c>0$. 如图，设点 $F_0$，$F_1$，$F_2$ 是相应椭圆的焦点，$A_1$，$A_2$ 和 $B_1$，$B_2$ 分别是”果圆”与 $x$，$y$ 轴的交点，$M$ 是线段 $A_1{A}_2$ 的中点. （1）若 $△F_0{F}_1{F}_2$ 是边长为 $1$ 的等边三角形，求该”果圆”的方程； （2）设 $P$ 是”果圆”的半椭圆 $\frac{y^2}{b^2}+\frac{x^2}{c^2}=1$（$x⩽0$）上任意一点. 求证：当 $|PM|$ 取得最小值时，$P$ 在点 $B_1$，$B_2$ 或 $A_1$ 处； （3）若 $P$ 是”果圆”上任意一点，求 $|PM|$ 取得最小值时点 $P$ 的横坐标.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先定各要素坐标：右椭圆焦点 $(\pm c,0)$，左椭圆焦点 $(0,\pm d)$（$d=\sqrt{b^2-c^2}$），$A_1=(-c,0)$，$A_2=(a,0)$，$M=\left(\frac{a-c}{2},0\right)$。
2. (1) 等边三角形边长 1 给出 $d$ 与 $c$ 的方程组。
3. (2) 把 $|PM{|}^2$ 写成 $x$ 的二次函数，看开口方向定端点最小。
4. (3) 右半椭圆的 $|PM{|}^2$ 开口向上，顶点横坐标 $x_0$ 与区间 $[0,a]$ 的位置关系按 $a<2c$ 与 $a⩾2c$ 讨论，再与左半椭圆的端点值比较。

✅【答案】

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(1) $\{\begin{array}{ll}\frac{4x^2}{7}+y^2=1,& x⩾0,\\ \frac{4x^2}{3}+y^2=1,& x⩽0.\end{array}$　(2) 证明见解析；(3) 当 $a<2c$ 时，横坐标为 $\frac{a^2(a-c)}{2c^2}$；当 $a⩾2c$ 时，横坐标为 $-c$ 或 $a$

✍【详细解析】

Abstract

记 $d=\sqrt{b^2-c^2}$．右侧椭圆的焦点为 $(\pm c,0)$，左侧椭圆的焦点为 $(0,\pm d)$，故可取 $F_0=(c,0),F_1=(0,-d),F_2=(0,d).$ 又有 $A_1=(-c,0),A_2=(a,0),M=\left(\frac{a-c}{2},0\right).$ （1）若 $△F_0{F}_1{F}_2$ 为边长 $1$ 的等边三角形，则 $2d=F_1{F}_2=1,c^2+d^2=F_0{F}_2^2=1.$ 所以 $d=\frac{1}{2}$，$c=\frac{\sqrt{3}}{2}$．从 $b^2=c^2+d^2$ 和 $a^2=b^2+c^2$ 得 $b=1,a=\frac{\sqrt{7}}{2}.$ 因此该”果圆”的方程为 $\{\begin{array}{ll}\frac{4x^2}{7}+y^2=1,& x⩾0,\\ \frac{4x^2}{3}+y^2=1,& x⩽0.\end{array}$ （2）设 $P=(x,y)$ 在左侧半椭圆上，则 $-c⩽x⩽0$，且 $y^2=b^2\left(1-\frac{x^2}{c^2}\right).$ 令 $m=\frac{a-c}{2}$，则 $|PM{|}^2=(x-m{)}^2+y^2=m^2+b^2-2mx+\left(1-\frac{b^2}{c^2}\right)x^2.$ 由于 $b>c$，二次项系数 $1-\frac{b^2}{c^2}<0$，所以右端是区间 $[-c,0]$ 上开口向下的二次函数，其最小值只能在端点处取得．当 $x=-c$ 时，$P=A_1$；当 $x=0$ 时，$P=B_1$ 或 $P=B_2$．因此，当 $|PM|$ 取得最小值时，$P$ 在 $B_1$，$B_2$ 或 $A_1$ 处． （3）先研究右侧半椭圆．设 $P=(x,y)$，则 $0⩽x⩽a$，且 $y^2=b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right).$ 于是 $|PM{|}^2=(x-m{)}^2+y^2=m^2+b^2-2mx+\frac{c^2}{a^2}{x}^2.$ 这是开口向上的二次函数，其顶点横坐标为 $x_0=\frac{m{a}^2}{c^2}=\frac{a^2(a-c)}{2c^2}.$ 因为 $a>c$，所以 $x_0>0$．又有 $x_0<a⟺a(a-c)<2c^2⟺(a-2c)(a+c)<0⟺a<2c.$ 当 $a<2c$ 时，$x_0\in (0,a)$，故右侧半椭圆上的距离平方在 $x=x_0$ 处取得最小值．与左侧半椭圆端点对应的距离相比， $|PM{|}^2{|}_{x=x_0}=m^2+b^2-\frac{m^2{a}^2}{c^2}<m^2+b^2=|M{B}_1{|}^2=|M{B}_2{|}^2,$ 且顶点值小于端点 $x=a$ 处的值 $|M{A}_2{|}^2=|M{A}_1{|}^2$．所以全曲线上取得最小值时，点 $P$ 的横坐标为 $x=\frac{a^2(a-c)}{2c^2}.$ 当 $a⩾2c$ 时，右侧半椭圆上的最小值在 $x=a$ 处取得，对应点为 $A_2$．此时 $|M{A}_2{|}^2=\frac{(a+c{)}^2}{4},|M{B}_1{|}^2=|M{B}_2{|}^2=\frac{(a-c{)}^2}{4}+b^2,$ 且 $|M{A}_2{|}^2-|M{B}_1{|}^2=ac-b^2=-a^2+ac+c^2<0,$ 其中最后一个不等式由 $a⩾2c$ 和 $a,c>0$ 得到．因此此时全曲线上的最小值在 $A_1$、$A_2$ 处同时取得，点 $P$ 的横坐标为 $-c$ 或 $a$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：果圆距离最值

核心方法：距离平方化为二次函数，按开口方向与区间讨论

避坑指南：|PM|² 含二次项，开口方向由系数符号定（左半椭圆 b>c 开口向下、右半椭圆开口向上）；顶点是否落在区间 [0,a] 内由 a<2c 判定；最小值点要全曲线比较，不是单段结论

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆性质与二次函数最值

结论推广：曲线上两点距离平方消去 y 后是二次函数，最值位置取决于顶点与区间的相对位置

方法推广：新定义曲线问题：先把曲线拆成熟悉的半段，每段分别建立二次函数，最后拼接讨论

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.08 一般曲线与方程

类题演练(Links)

• 2010-上海卷文-23 解-椭圆向量与中点弦
• 2012-天津卷文-19 解-椭圆离心率与斜率
• 2012-辽宁卷文-20 解-椭圆动圆与轨迹