2012-辽宁卷文-20 解-椭圆动圆与轨迹

本题导读

本题考查椭圆与圆的交点。核心在于反解法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(文)） 如图，动圆 $C_1$：$x^2+y^2=t^2$（$1<t<3$）与椭圆 $C_2$：$\frac{x^2}{9}+y^2=1$ 相交于 $A$，$B$，$C$，$D$ 四点，点 $A_1$，$A_2$ 分别为 $C_2$ 的左，右顶点.

(1)当 $t$ 为何值时，矩形 $ABCD$ 的面积取得最大值？并求出其最大面积；

(2)求直线 $A{A}_1$ 与直线 $A_{2}B$ 交点 $M$ 的轨迹方程.

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🔍【思路分析】

破题导航

（1）$S=\frac{3}{2}\sqrt{(t^2-1)(9-t^2)}$，当 $t^2=5$ 即 $t=\sqrt{5}$ 时最大，$S_{\max }=6$；（2）$M=(-\frac{9}{x_0},-\frac{3y_0}{x_0})$，代入椭圆得轨迹 $x^2-9y^2=9$，即 $\frac{x^2}{9}-y^2=1$（$x<-3$，$y<0$）。

✅【答案】

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(1)当 $t=\sqrt{5}$ 时矩形 $ABCD$ 的面积最大，最大面积为 $6$；(2)轨迹方程为 $\frac{x^2}{9}-y^2=1$（$x<-3$，$y<0$）

✍【详细解析】

Abstract

（1）由对称性，设交点中位于第二象限的点 $A(-x_0,y_0)$，第四象限的点 $B(-x_0,-y_0)$（$x_0>0$，$y_0>0$），则矩形 $ABCD$ 的边长分别为 $2y_0$ 与 $2x_0$。

联立 $x^2+y^2=t^2$ 与 $\frac{x^2}{9}+y^2=1$：由 $x^2+y^2=t^2$ 得 $y^2=t^2-x^2$，代入椭圆方程

$\frac{x^2}{9}+t^2-x^2=1⟹-\frac{8}{9}{x}^2=1-t^2⟹x^2=\frac{9(t^2-1)}{8}$，

$y^2=t^2-x^2=t^2-\frac{9(t^2-1)}{8}=\frac{9-t^2}{8}$。

矩形面积 $S=4x_0{y}_0=4\sqrt{\frac{9(t^2-1)}{8}}\cdot \sqrt{\frac{9-t^2}{8}}=\frac{3}{2}\sqrt{(t^2-1)(9-t^2)}$。

由均值不等式，$(t^2-1)(9-t^2)⩽{\left(\frac{(t^2-1)+(9-t^2)}{2}\right)}^2=16$，当且仅当 $t^2-1=9-t^2$，即 $t^2=5$，$t=\sqrt{5}\in (1,3)$ 时取等号。

故当 $t=\sqrt{5}$ 时面积最大，$S_{\max }=\frac{3}{2}\times 4=6$。

（2）由（1）的记号，$A(-x_0,y_0)$，$B(-x_0,-y_0)$，$A_1(-3,0)$，$A_2(3,0)$，且 $A$ 在椭圆上：

$\frac{x_0^2}{9}+y_0^2=1$。①

设 $M(x,y)$。直线 $A{A}_1$ 的方程为 $y=\frac{y_0}{3-x_0}(x+3)$，直线 $A_{2}B$ 的方程为 $y=\frac{y_0}{x_0+3}(x-3)$。

联立：$\frac{x+3}{3-x_0}=\frac{x-3}{x_0+3}$，整理得 $(x+3)(x_0+3)=(x-3)(3-x_0)$，即 $2x_{0}x+18=0$，所以 $x=-\frac{9}{x_0}$，$x_0=-\frac{9}{x}$。

代回直线 $A{A}_1$：$y=\frac{y_0\left(-\frac{9}{x_0}+3\right)}{3-x_0}=-\frac{3y_0}{x_0}$，故 $y_0=-\frac{x_{0}y}{3}=\frac{3y}{x}$。

将 $x_0=-\frac{9}{x}$，$y_0=\frac{3y}{x}$ 代入①：

$\frac{81}{9x^2}+\frac{9y^2}{x^2}=1⟹\frac{9}{x^2}+\frac{9y^2}{x^2}=1⟹x^2=9+9y^2$，

即 $\frac{x^2}{9}-y^2=1$。

由 $1<t<3$ 知 $0<x_0<3$，故 $x=-\frac{9}{x_0}<-3$；又 $y_0>0$，故 $y=-\frac{3y_0}{x_0}<0$，且 $y\ne 0$。

所以交点 $M$ 的轨迹方程为 $\frac{x^2}{9}-y^2=1$（$x<-3$，$y<0$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆与圆的公共点（对称性）；基本不等式求最值；代入消参法求轨迹并注明范围

核心方法：（1）“联立 → 用 $t$ 表坐标 → 面积配均值不等式”；（2）“设 $M$ → 反解 $x_0$，$y_0$ → 代入椭圆消参 → 定范围”

避坑指南：（1）面积最大在 $t^2-1=9-t^2$（两因式相等）时取得，均值不等式取等的条件别丢；（2）轨迹是双曲线的左下支的一部分，$x<-3$，$y<0$ 的范围必须写——由 $1<t<3$ 限定 $x_0\in (0,3)$ 得到，漏写范围是本题最常见的扣分点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆（圆）交点与轨迹方程综合题，与 2014 年广东卷文第 20 题、2013 年陕西卷文第 22 题、2012 年湖北卷文第 21 题同族。

结论推广：椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 与圆 $x^2+y^2=t^2$ 联立得 $x^2=\frac{a^2(t^2-b^2)}{a^2-b^2}$；两条直线交点的轨迹用”设 $M$、反解动点坐标、代入原曲线消参”，范围由参数的取值范围反推。

方法推广：求轨迹方程的最后一步永远是”由参数范围定 $x$，$y$ 的范围”，双曲线、抛物线型的轨迹尤其要挖掉不该有的部分。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷文-20 解-椭圆轨迹
• 2013-陕西卷文-22 解-轨迹方程与椭圆
• 2012-湖北卷文-21 解-单位圆轨迹与椭圆