2007-上海卷理-04 填-对数代数定义

本题导读

本题考查指数超越方程的求解。试题通过指数幂的二倍关系特征，利用换元法将其降维转化为熟悉的一元二次方程，属于高频考查的运算题。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(理)） 方程 $9^x-6\cdot 3^x-7=0$ 的解是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 指数换元：识别出 $9^x=(3^x{)}^2$，令 $3^x=t(t>0)$，构造一元二次方程。

2. 求解回代：利用因式分解求出二次方程的根，根据隐性定义域 $t>0$ 舍去负根，最后通过对数定义解出 $x$．

✅【答案】

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${\log }_{3}7$

✍【详细解析】

Abstract

原方程可变形为：$(3^x{)}^2-6\cdot 3^x-7=0$． 设 $3^x=t$，根据指数函数的值域特征，必有 $t>0$． 则原方程转化为关于 $t$ 的一元二次方程： $t^2-6t-7=0$ 对左端进行十字相乘因式分解得： $(t-7)(t+1)=0$ 解得 $t=7$ 或 $t=-1$． 因为 $t>0$，所以 $t=-1$ 不合题意，舍去． 故 $3^x=7$，利用对数定义将其转化为对数式解得： $x={\log }_{3}7$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数方程的转化，换元法中新变量取值范围的控制，指数与对数的互化。

2. 核心方法：局部变量换元法。

3. 避坑指南：求出 $t$ 后极易由于粗心忘记回代，误将 7 作为最终答案；同时要注意严格过滤掉不满足指数函数非负性要求的负根 $t=-1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于教材中指数函数与对数函数章节关于超越方程求解的典型换元模型。

5. 结论推广：对于形如 $a\cdot q^{2x}+b\cdot q^x+c=0$ ($a\ne 0,q>0$) 的二次型指数方程，通用破局点是将其通过整体代换化归为二次方程模型求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2016-全国卷I理-06 单-三视图