2016-全国卷I理-06 单-三视图

本题导读

本题考查三视图还原几何体、球体的体积公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷I(理)） 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 $\frac{28\pi }{3}$，则它的表面积是 ()

A. $17\pi$　　　　　　　B. $18\pi$　　　　　　　C. $20\pi$　　　　　　　D. $28\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 还原几何体：三视图的主视图、左视图、俯视图均为圆且缺了一个象限，这说明该几何体是在球体的基础上进行切割得到的。具体而言，它是由一个球切去了位于同一个八分卦限内的部分。即该几何体是原球体的 $\frac{7}{8}$。
2. 求半径 $R$：利用总体积 $V_{实}=\frac{7}{8}{V}_{球}=\frac{7}{8}\times \frac{4}{3}\pi R^3=\frac{28\pi }{3}$ 建立方程求解 $R$。
3. 计算表面积：该几何体的表面由两部分组成：

• 球面部分：原球面面积的 $\frac{7}{8}$，即 $\frac{7}{8}\times 4\pi R^2$。

• 截面部分：三个相互垂直的半圆面（或者是三个 $\frac{1}{4}$ 圆面两两交会形成的内陷直角面）。通过空间构思可知，这三个截面合起来恰好是三个半径为 $R$ 的 $\frac{1}{4}$ 圆。

• 总表面积 $S=S_{球面}+S_{截面}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 确定几何体结构： 由三视图可知，该几何体是一个球体去掉了 $\frac{1}{8}$ 后的剩余部分。
2. 求半径 $R$： 依题意，$\frac{7}{8}\times \frac{4}{3}\pi R^3=\frac{28\pi }{3}$。 化简得：$\frac{7}{6}\pi R^3=\frac{28\pi }{3}⟹R^3=\frac{28\times 6}{3\times 7}=8$。 解得：$R=2$。
3. 计算表面积：

• 曲面面积：$S_{曲}=\frac{7}{8}\times 4\pi R^2=\frac{7}{2}\pi \times 2^2=14\pi$。
• 平面面积：三个截面均为半径为 $R$ 的 $\frac{1}{4}$ 圆面。 $S_{平}=3\times (\frac{1}{4}\pi R^2)=\frac{3}{4}\pi \times 2^2=3\pi$。
• 总表面积：$S_{总}=14\pi +3\pi =17\pi$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 三视图的“缺口”：本题的难点在于对截面的处理。很多学生容易漏掉切割后露出的三个内平面。
• 公式运用：熟练掌握球体体积 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$ 和表面积 $S=4\pi R^2$。
• 在处理球体切割问题时，想象成切西瓜。切走了一块，不仅少了一块皮（曲面），还多了几块红瓤（平面）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若题目改为去掉一个半球，表面积的变化如何？（球面剩一半，增加一个大圆底面）。
2. 知识关联：此类题目常与外接球、内切球问题结合，考查空间几何建模能力。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-04 填-球的体积
• 2017-全国卷III理-08 单-球
• 2017-全国卷II文-06 单-三视图

专题合集 (Series)