2007-上海卷理-14 单-直角三角形分类讨论

本题导读

本题考查平面向量坐标运算与直角三角形的综合应用。核心在于直角顶点的不确定性，需要分三种情况分别讨论向量的数量积是否为零，考查思维的完备性。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(理)） 直角坐标系 $xOy$ 中，$\vec{i},\vec{j}$ 分别是与 $x,y$ 轴正方向同向的单位向量。在直角三角形 $ABC$ 中，若 $\overrightarrow{AB}=2\vec{i}+\vec{j},\overrightarrow{AC}=3\vec{i}+k\vec{j}$，则 $k$ 的可能值个数是()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

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1. 向量坐标化：将基底表达式转化为坐标形式，写出 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ 及 $\overrightarrow{BC}$ 的坐标表示。

2. 顶点分类讨论：由于未指定直角顶点，需分别针对 $\angle A=90^{\circ }$、$\angle B=90^{\circ }$、$\angle C=90^{\circ }$ 三种情况，利用向量垂直数量积为零建立关于 $k$ 的方程求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由题意，以 $\vec{i},\vec{j}$ 为正交基底，各向量的坐标可表示为： $\overrightarrow{AB}=(2,1)$，$\overrightarrow{AC}=(3,k)$． 根据向量的减法运算，可得第三条边对应的向量为： $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=(3-2,k-1)=(1,k-1)$ 因为 $△ABC$ 是直角三角形，必须有且仅有一个内角为 $90^{\circ }$，分情况讨论如下：

① 若 $\angle A=90^{\circ }$，则有 $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AC}⟹\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$， $2\times 3+1\times k=0⟹6+k=0⟹k=-6$ 此时 $\overrightarrow{AC}=(3,-6)$，$\overrightarrow{BC}=(1,-7)$，由于 $\frac{2}{3}\ne \frac{1}{-6}$，两向量不共线，能构成三角形，故 $k=-6$ 有效；

② 若 $\angle B=90^{\circ }$，则有 $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{BC}⟹\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0$， $2\times 1+1\times (k-1)=0⟹2+k-1=0⟹k=-1$ 此时 $\overrightarrow{AC}=(3,-1)$，$\overrightarrow{BC}=(1,-2)$，两向量不共线，能构成三角形，故 $k=-1$ 有效；

③ 若 $\angle C=90^{\circ }$，则有 $\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{BC}⟹\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=0$， $3\times 1+k(k-1)=0⟹k^2-k+3=0$ 计算该一元二次方程的判别式：$\Delta =(-1{)}^2-4\times 1\times 3=-11<0$． 因此该方程无实数解，即 $\angle C=90^{\circ }$ 的情况不存在．

综上所述，满足题意的 $k$ 的可能值有 $-6$ 和 $-1$，共 2 个． 故选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量的坐标数量积公式 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$，直角三角形多解性分析。

2. 核心方法：分类讨论思想。

3. 避坑指南：极易由于思维定势默认 $\angle A$ 为直角而漏掉其他两个顶点的可能；解出 $k$ 后需口算复核对应向量是否共线，防止出现三点共线无法构成三角形的伪解。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于教材中平面向量数量积的应用习题，通过隐去三角形直角顶点的具体位置，转化为多解分类讨论题。

5. 结论推广：在平面坐标系中，已知三角形两边的向量表示求未知参数，若该三角形为直角三角形，参数的最大可能解个数为 3，具体有效解的个数取决于分项二次方程判别式的正负性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷理-13 填-二项式通项