2007-上海卷理-17 解-三角形面积公式

本题导读

本题考查解三角形中的恒等变换及面积计算。核心在于利用二倍角公式由半角三角函数值求出单倍角的正余弦值，进而借助两角和的正弦公式与正弦定理实现边角转化求出面积。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(理)） 在 $△ABC$ 中，$a,b,c$ 分别是三个内角 $A,B,C$ 的对边．若 $a=2,C=\frac{\pi }{4}$，$\cos \frac{B}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求 $△ABC$ 的面积 $S$．

🔍【思路分析】

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1. 二倍角展开：由 $\cos \frac{B}{2}$ 的值利用二倍角公式求出 $\sin B$ 和 $\cos B$．

2. 求内角 $A$ 的正弦值：利用三角形内角和定理，通过 $\sin A=\sin (B+C)$ 计算 $\sin A$．

3. 边角转化求面积：利用正弦定理求出边 $c$，再代入三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}ac\sin B$ 计算结果．

✅【答案】

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$S=87.$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\cos \frac{B}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，且 $\frac{B}{2}\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$， 所以 $\sin \frac{B}{2}=\sqrt{1-{\cos }^2\frac{B}{2}}=\sqrt{1-{\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)}^2}=\frac{\sqrt{5}}{5}$． 由二倍角公式可得： $\sin B=2\sin \frac{B}{2}\cos \frac{B}{2}=2\times \frac{\sqrt{5}}{5}\times \frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{4}{5}$ $\cos B=2{\cos }^2\frac{B}{2}-1=2\times \frac{4}{5}-1=\frac{3}{5}$ 因为 $A+B+C=\pi$，且 $C=\frac{\pi }{4}$， 所以 $\sin A=\sin (\pi -(B+C))=\sin (B+C)=\sin B\cos C+\cos B\sin C$． 代入数据得： $\sin A=\frac{4}{5}\times \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3}{5}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{7\sqrt{2}}{10}$ 根据正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$，可求得边 $c$： $c=a\cdot \frac{\sin C}{\sin A}=2\times \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{7\sqrt{2}}{10}}=\frac{10}{7}$ 因此，$△ABC$ 的面积为： $S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\times 2\times \frac{10}{7}\times \frac{4}{5}=\frac{8}{7}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：同角三角函数平方关系及二倍角公式，两角和的正弦公式，正弦定理与面积公式。

2. 核心方法：两倍角化单倍角法，正弦定理边角转换法。

3. 避坑指南：在计算 $\sin A=\sin (B+C)$ 时，不能漏掉对 $\cos B$ 的求取；使用正弦定理时需确保边角对应关系准确。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于教材中解三角形章节的基本应用习题，将三角恒等变换作为前置条件融入到正弦定理的计算中。

5. 结论推广：在任意 $△ABC$ 中，已知一个半角三角函数值、一边及一角，则该三角形的所有边长、角度及面积均唯一确定，可通过正弦定理与面积公式完全代数化表示。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 11.01 正弦定理
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-12 单-数列单调性
• 2022-新高考II卷-12 多-不等式最值