2007-上海卷理-19 解-用空间向量求二面角

本题导读

本题以底面为直角梯形的四棱锥为载体，考查空间线面垂直的证明以及二面角的求法，利用侧棱垂直底面的特性建立直角坐标系通过向量代数求解。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(理)） 如图，在底面为直角梯形的四棱锥 $P-ABCD$ 中，$AD\parallel BC,\angle ABC=90^{\circ },PA\perp$ 平面 $ABCD$，$PA=4,AD=2,AB=2\sqrt{3},BC=6$．

(1) 求证：$BD\perp$ 平面 $PAC$；

(2) 求二面角 $A-PC-D$ 的大小．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：以 $A$ 为原点建立空间直角坐标系，利用两向量的数量积为 0 证明 $BD\perp AC$，结合 $PA\perp BD$ 证出线面垂直。

2. 第二问：分别求出平面 $PAC$ 与平面 $PCD$ 的法向量，通过法向量的夹角公式求出二面角的余弦值，进而确定角度。

✅【答案】

点击查看答案

待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 因为 $PA\perp$ 平面 $ABCD$，$\angle ABC=90^{\circ }$，$AD\parallel BC$， 所以 $AB,AD,PA$ 两两互相垂直． 以 $A$ 为坐标原点，分别以 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{PA}$ 的方向为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系 $A-xyz$． 由题意可得相关各点的坐标为： $A(0,0,0),B(2\sqrt{3},0,0),C(2\sqrt{3},6,0),D(0,2,0),P(0,0,4)$． 则 $\overrightarrow{AC}=(2\sqrt{3},6,0)$，$\overrightarrow{BD}=(-2\sqrt{3},2,0)$． 因为 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=2\sqrt{3}\times (-2\sqrt{3})+6\times 2+0\times 0=-12+12=0$， 所以 $BD\perp AC$． 又因为 $PA\perp$ 平面 $ABCD$，$BD\subset$ 平面 $ABCD$， 所以 $PA\perp BD$． 因为 $AC\cap PA=A$，且 $AC,PA\subset$ 平面 $PAC$， 所以 $BD\perp$ 平面 $PAC$．

(2) 解： 由 (1) 可知，$BD\perp$ 平面 $PAC$，故平面 $PAC$ 的一个法向量可取为 $\overrightarrow{n_1}=(-\sqrt{3},1,0)$． 设平面 $PCD$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{n_2}=(x,y,z)$． 已知 $\overrightarrow{DC}=(2\sqrt{3},4,0)$，$\overrightarrow{DP}=(0,-2,4)$． 由 $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{DC}=0\\ \overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{DP}=0\end{array}$ 得 $\{\begin{array}{l}2\sqrt{3}x+4y=0\\ -2y+4z=0\end{array}$， 令 $x=-4$，解得 $y=2\sqrt{3},z=\sqrt{3}$， 故 $\overrightarrow{n_2}=(-4,2\sqrt{3},\sqrt{3})$． 设二面角 $A-PC-D$ 的平面角为 $\theta$．由图可知 $\theta$ 为锐角， 则 $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|(-\sqrt{3})\times (-4)+1\times 2\sqrt{3}+0|}{\sqrt{(-\sqrt{3}{)}^2+1^2}\times \sqrt{(-4{)}^2+(2\sqrt{3}{)}^2+(\sqrt{3}{)}^2}}=\frac{6\sqrt{3}}{2\times \sqrt{31}}=\frac{3\sqrt{93}}{31}$． 所以，二面角 $A-PC-D$ 的大小为 $\arccos \frac{3\sqrt{93}}{31}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间直角坐标系的构建，线面垂直的向量判定，平面法向量的求解与二面角夹角计算。

2. 核心方法：坐标化法。

3. 避坑指南：求得法向量夹角的余弦值后，需结合图形判定二面角的实际范围（钝角或锐角）。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题属于典型的立体几何大题标准模型，利用底面直角结构进行规范的向量运算。

5. 结论推广：在直角梯形底面中，若两底边与高的代数几何特征满足 $A{B}^2=BC\cdot AD$，则对角线必互相垂直。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.01空间向量及其运算
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2016-全国卷II理-19 解-二面角