2016-全国卷II理-19 解-二面角

本题导读

本题考查立体几何（折叠问题）、线面垂直的判定与性质。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(理)） 如图，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，$AB=5$，$AC=6$，点 $E,F$ 分别在 $AD,CD$ 上，$AE=CF=\frac{5}{4}$，$EF$ 交 $BD$ 于点 $H$.将 $△DEF$ 沿 $EF$ 折到 $△D^{\prime }EF$ 的位置，$O{D}^{\prime }=\sqrt{10}$.

(1)证明：$D^{\prime }H\perp$ 平面 $ABCD$；

(2)求二面角 $B-D^{\prime }A-C$ 的正弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（证明）：

• 在菱形中利用 $AE=CF$ 证明 $EF//AC$，从而得到 $BD\perp EF$。
• 折叠后 $D^{\prime }H\perp EF$ 依然成立。
• 计算 $OH,DH,D^{\prime }H$ 的长度，利用勾股定理逆定理证明 $D^{\prime }H\perp OH$。
• 结合 $D^{\prime }H\perp EF$ 和 $D^{\prime }H\perp OH$，根据线面垂直判定定理得出结论。

2. 第二问（计算）：

• 建立以 $H$ 为原点，射线 $HB$ 为 $x$ 轴，$HF$ 为 $y$ 轴，$H{D}^{\prime }$ 为 $z$ 轴的空间直角坐标系。

• 确定 $A,B,C,D^{\prime }$ 的坐标，求出平面 $AB{D}^{\prime }$ 和平面 $AC{D}^{\prime }$ 的法向量。

• 利用法向量夹角公式求出二面角的余弦值，再转化为正弦值。

✅【答案】

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$\frac{2\sqrt{95}}{25}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)证明：

1. 由菱形 $ABCD$ 性质知 $AD=CD=5$。又 $AE=CF=\frac{5}{4}$，则 $\frac{DE}{EA}=\frac{DF}{FC}=3$，故 $EF//AC$。
2. 因为 $AC\perp BD$，所以 $EF\perp BD$。设 $BD$ 与 $AC$ 交于 $O$，则 $H$ 在 $OB$ 上。
3. 在 $Rt△AOB$ 中，$AO=3,AB=5⟹OB=4$。
4. 由 $△DEH\sim △ADO$ 可得 $\frac{DH}{DO}=\frac{DE}{AD}=\frac{3.75}{5}=\frac{3}{4}$。 由于 $DO=OB=4$，故 $DH=3$，则 $OH=DO-DH=4-3=1$。
5. 折叠前 $DH=3$，折叠后 $D^{\prime }H=3$。 在 $△D^{\prime }HO$ 中，$D^{\prime }H=3,OH=1,D^{\prime }O=\sqrt{10}$。 因为 $D^{\prime }{H}^2+O{H}^2=3^2+1^2=10=D^{\prime }{O}^2$，所以 $D^{\prime }H\perp OH$。
6. 又 $D^{\prime }H\perp EF$，$OH\cap EF=H$，所以 $D^{\prime }H\perp$ 平面 $ABCD$。

(2)解：

以 $H$ 为原点，$HB,HF,H{D}^{\prime }$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。 由 $EF//AC$ 且 $AC=6$ 可得 $EF=\frac{3}{4}AC=4.5$，则 $HF=2.25$。 各点坐标为：$H(0,0,0),B(5,0,0),D^{\prime }(0,0,3),C(1,3,0),A(1,-3,0)$。

1. 求平面 $AB{D}^{\prime }$ 的法向量 $\overrightarrow{n_1}$： $\overrightarrow{AB}=(4,3,0),\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=(-1,3,3)$。 设 $\overrightarrow{n_1}=(x,y,z)$，则 $\{\begin{array}{l}4x+3y=0\\ -x+3y+3z=0\end{array}$，取 $x=3$，得 $\overrightarrow{n_1}=(3,-4,5)$。
2. 求平面 $AC{D}^{\prime }$ 的法向量 $\overrightarrow{n_2}$： $\overrightarrow{AC}=(0,6,0),\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=(-1,3,3)$。 同理得 $\overrightarrow{n_2}=(3,0,1)$。
3. 求二面角的余弦值： $\cos ⟨\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}⟩=\frac{3\times 3+5\times 1}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2+5^2}\cdot \sqrt{3^2+1^2}}=\frac{14}{5\sqrt{2}\cdot \sqrt{10}}=\frac{14}{10\sqrt{5}}=\frac{7\sqrt{5}}{25}$。
4. 求正弦值： $\sin \theta =\sqrt{1-(\frac{7\sqrt{5}}{25}{)}^2}=\sqrt{1-\frac{245}{625}}=\sqrt{\frac{380}{625}}=\frac{2\sqrt{95}}{25}$。 所以二面角 $B-D^{\prime }A-C$ 的正弦值为 $\frac{2\sqrt{95}}{25}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 折叠不变量：折叠前 $DH\perp EF$，折叠后 $D^{\prime }H\perp EF$ 依然成立，这是此类题目的常用切入点。

• 坐标系选择：第一问证得 $D^{\prime }H$ 为高，因此以 $H$ 为原点建立坐标系最为简便。

• 计算精度：二面角正弦值的计算涉及多次开方，需细心校对法向量分量。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：折叠问题的突破口是“不变量”：$EF\parallel AC$ 与 $EF\perp BD$（即 $D^{\prime }H\perp EF$、$D^{\prime }H\perp OH$）在折叠前后都成立；由 $DH=3$、$O{D}^{\prime }=\sqrt{10}$ 勾股即得高 $D^{\prime }H=1$。
2. 知识关联：折叠问题的核心是分清“变”与“不变”：同一平面内的长度、角度不变，跨越折痕的位置关系改变；先证高线再建系，是空间向量法求二面角的标准流程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-17 解-立体几何综合
• 2017-全国卷III文-13 填-向量垂直
• 2017-全国卷III理-12 单-向量

专题合集 (Series)