2007-北京卷文-11 填-向量垂直定参

本题导读

本题考查向量垂直的坐标表示，以及数量积的坐标运算。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(文)） 已知向量 $\mathbf{a}=(2,4)$，$\mathbf{b}=(1,1)$．若向量 $\mathbf{b}\perp (\mathbf{a}+\lambda \mathbf{b})$，则实数 $\lambda$ 的值是 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 垂直 $⟺$ 数量积为 $0$：$\mathbf{b}\cdot (\mathbf{a}+\lambda \mathbf{b})=0$。
2. 展开为 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+\lambda \mathbf{b}\cdot \mathbf{b}=0$。
3. 坐标代入解 $\lambda$。

✅【答案】

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$-3$

✍【详细解析】

Abstract

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=2\times 1+4\times 1=6$，$\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}=1^2+1^2=2$． 由 $\mathbf{b}\perp (\mathbf{a}+\lambda \mathbf{b})$ 得 $\mathbf{b}\cdot (\mathbf{a}+\lambda \mathbf{b})=\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+\lambda \mathbf{b}\cdot \mathbf{b}=6+2\lambda =0,$ 解得 $\lambda =-3$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量垂直定参

核心方法：垂直即数量积为零

避坑指南：|b|²=b·b=2，别把模平方算成 4

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数量积的坐标运算

结论推广：a⊥b ⟺ axbx+ayby=0

方法推广：垂直条件列方程是求参数的固定套路

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练(Links)

• 2008-新课标卷文-05 单-向量垂直求参
• 2009-新课标卷文-07 单-向量垂直定参