2007-山东卷文-05 单-向量垂直求模

本题导读

本题考查向量垂直，以及向量的模。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(文)） 已知向量 $\mathbf{a}=(1,n)$，$\mathbf{b}=(-1,n)$，若 $2\mathbf{a}-\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{b}$ 垂直，则 $|\mathbf{a}|=$ ()

A. $1$　　　　　　　B. $\sqrt{2}$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

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1. $2\mathbf{a}=(2,2n)$，故 $2\mathbf{a}-\mathbf{b}=(3,n)$。
2. 垂直 $\Rightarrow (2\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot \mathbf{b}=-3+n^2=0\Rightarrow n^2=3$。
3. $|\mathbf{a}|=\sqrt{1+n^2}=2$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$2\mathbf{a}-\mathbf{b}=(2,2n)-(-1,n)=(3,n)$． 由 $(2\mathbf{a}-\mathbf{b})\perp \mathbf{b}$，得 $(2\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot \mathbf{b}=0$，即 $3\times (-1)+n\times n=0$，$n^2=3$． 故 $|\mathbf{a}|=\sqrt{1^2+n^2}=\sqrt{1+3}=2$，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量垂直求模

核心方法：坐标运算：$2\mathbf{a}-\mathbf{b}=(3,n)$，点积为零解 $n^2=3$

避坑指南：$2\mathbf{a}$ 是数乘整个向量；垂直即点积为 0，别用数量积定义漏平方

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量垂直与模的坐标运算，向量基础题

结论推广：$(2\mathbf{a}-\mathbf{b})\perp \mathbf{b}⟺(2\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot \mathbf{b}=0$

方法推广：向量小题一律坐标化：数乘、加减、点积三步走

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练(Links)

• 2007-北京卷文-11 填-向量垂直定参
• 2007-大纲卷I文-03 单-向量垂直的判定
• 2008-新课标卷文-05 单-向量垂直求参
• 2008-山东卷文-08 单-向量垂直与解三角形