2007-四川卷文-15 填-等切线长轨迹方程

本题导读

本题考查圆的切线长公式，以及轨迹方程。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(文)） 已知 $\odot O$ 的方程是 $x^2+y^2-2=0$，$\odot O^{\prime }$ 的方程是 $x^2+y^2-8x+10=0$，由动点 $P$ 向 $\odot O$ 和 $\odot O^{\prime }$ 所引的切线长相等，则动点 $P$ 的轨迹方程是 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 两圆化标准形：$\odot O$：$x^2+y^2=2$；$\odot O^{\prime }$：$(x-4{)}^2+y^2=6$。
2. 切线长的平方等于点对圆的幂：$L_1^2=x^2+y^2-2$，$L_2^2=(x-4{)}^2+y^2-6$。
3. $L_1=L_2$：$x^2+y^2-2=(x-4{)}^2+y^2-6$，化简得 $8x=12$，$x=\frac{3}{2}$。
4. 轨迹为直线 $x=\frac{3}{2}$。

✅【答案】

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$x=\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

将两圆方程化为标准形式： $\odot O$：$x^2+y^2=2$（圆心 $O(0,0)$，半径 $\sqrt{2}$）；$\odot O^{\prime }$：$(x-4{)}^2+y^2=6$（圆心 $(4,0)$，半径 $\sqrt{6}$）． 设 $P(x,y)$，由圆的切线长公式（切线长的平方等于该点对圆的幂）： $L_1^2=x^2+y^2-2$，　$L_2^2=(x-4{)}^2+y^2-6$． 由 $L_1=L_2$ 得 $x^2+y^2-2=(x-4{)}^2+y^2-6$，即 $x^2+y^2-2=x^2+y^2-8x+10$． 解得 $8x=12$，即 $x=\frac{3}{2}$． 故动点 $P$ 的轨迹方程为 $x=\frac{3}{2}$（一条垂直于两圆连心线的直线）．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等切线长轨迹方程

核心方法：$L^2$ 等于点对圆的幂：$x^2+y^2-2=(x-4{)}^2+y^2-6$，$x=\frac{3}{2}$

避坑指南：切线长公式里减的是”一般方程的常数项”，$\odot O^{\prime }$ 化标准形时别丢 $(x-4{)}^2$ 中的平移；轨迹是直线 $x=\frac{3}{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等切线长轨迹即两圆的等幂轴（根轴），是圆系理论的入题点

结论推广：推广：到两圆切线长相等的点的轨迹为两圆的根轴，垂直于连心线；两圆相交时根轴即公共弦所在直线

方法推广：切线长问题一律转化为”点对圆的幂”：$L^2=x^2+y^2+Dx+Ey+F$，相等条件消去二次项得直线

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 17.06 圆的切线与极点极线

类题演练(Links)

• 2009-陕西卷文-04 单-直线与圆弦长
• 2011-湖北卷文-14 填-直线与圆弦长
• 2012-重庆卷文-03 单-直线与圆的弦长
• 2009-上海卷文-17 单-中点轨迹方程