2009-陕西卷文-04 单-直线与圆弦长

本题导读

考查弦长。直线 $y=\sqrt{3}x$，圆心 $(0,2)$，半径 $2$，$d=1$，弦长 $2\sqrt{4-1}=2\sqrt{3}$，选 D。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(文)） 过原点且倾斜角为 $60^{\circ }$ 的直线被圆 $x^2+y^2-4y=0$ 所截得的弦长为 ()

A. $\sqrt{3}$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $\sqrt{6}$　　　　　　　D. $2\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 直线：$y=\sqrt{3}x$，即 $\sqrt{3}x-y=0$。
2. 圆化为 $x^2+(y-2{)}^2=4$，圆心 $(0,2)$，半径 $r=2$。
3. 圆心到直线距离 $d=\frac{|0-2|}{\sqrt{3+1}}=1$。
4. 弦长 $2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{3}$。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

过原点且倾斜角为 $60^{\circ }$ 的直线方程为 $y=\sqrt{3}x$，即 $\sqrt{3}x-y=0$。 圆的方程化为 $x^2+(y-2{)}^2=4$，圆心 $(0,2)$，半径 $r=2$。 圆心到直线的距离 $d=\frac{|0-2|}{\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(-1{)}^2}}=1,$ 所求弦长为 $2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{4-1}=2\sqrt{3}.$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线被圆截得的弦长

核心方法：弦心距 $d$，弦长 $=2\sqrt{r^2-d^2}$

避坑指南：圆方程先配方成标准形：圆心是 $(0,2)$ 不是原点；倾斜角 $60^{\circ }$ 对应斜率 $\sqrt{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：垂径定理的代数化：弦心距、半径、半弦长构成直角三角形。

结论推广：倾斜角 $60^{\circ }$ 斜率为 $\sqrt{3}$，与 $30^{\circ }$ 的 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 切勿混淆。

方法推广：几何法（弦心距）优先于联立求交点，计算量小且不易错。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-江苏卷-18 解-直线与圆双弦
• 2009-辽宁卷文-07 单-直线与圆相切定圆
• 2009-大纲卷I文-16 填-平行线倾斜角
• 2011-四川卷文-21 解-椭圆弦长与定值