2007-四川卷文-20 解-三次函数切线与最值

本题导读

本题考查函数的奇偶性。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(文)） 设函数 $f(x)=a{x}^3+bx+c$（$a\ne 0$）为奇函数，其图象在点 $(1,f(1))$ 处的切线与直线 $x-6y-7=0$ 垂直，导函数 $f^{\prime }(x)$ 的最小值为 $-12$．

(1) 求 $a$，$b$，$c$ 的值；

(2) 求函数 $f(x)$ 的单调递增区间，并求函数 $f(x)$ 在 $[-1,3]$ 上的最大值和最小值．

🔍【思路分析】

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1. 奇函数：$f(-x)=-f(x)$ 恒成立，比较系数得 $c=0$。
2. $x-6y-7=0$ 的斜率为 $\frac{1}{6}$，切线与其垂直，斜率为 $-6$：$f^{\prime }(1)=3a+b=-6$。
3. $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+b$：$a<0$ 时无最小值，故 $a>0$，最小值 $f^{\prime }(0)=b=-12$，代回得 $a=2$。
4. $f(x)=2x^3-12x$，$f^{\prime }(x)=6(x^2-2)$：$x<-\sqrt{2}$ 或 $x>\sqrt{2}$ 时递增。
5. $[-1,3]$ 内临界点只有 $\sqrt{2}$：$f(-1)=10$，$f(\sqrt{2})=-8\sqrt{2}$，$f(3)=18$，最大 18，最小 $-8\sqrt{2}$。

✅【答案】

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(1) $a=2$，$b=-12$，$c=0$；(2) 单调递增区间为 $(-\infty ,-\sqrt{2})$ 和 $(\sqrt{2},+\infty )$；最大值 $18$，最小值 $-8\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $f(x)=a{x}^3+bx+c$ 为奇函数，$f(-x)=-a{x}^3-bx+c=-f(x)=-a{x}^3-bx-c$，故 $c=0$． 直线 $x-6y-7=0$ 的斜率为 $\frac{1}{6}$，切线与其垂直，故切线斜率为 $-6$，即 $f^{\prime }(1)=3a+b=-6$． 又 $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+b$：若 $a<0$，$f^{\prime }(x)$ 无最小值，故 $a>0$，且 $f^{\prime }(x)$ 的最小值为 $f^{\prime }(0)=b=-12$． 代入 $3a+b=-6$ 得 $a=2$．故 $(a,b,c)=(2,-12,0)$，$f(x)=2x^3-12x$． (2) $f^{\prime }(x)=6x^2-12=6(x^2-2)$．当 $x<-\sqrt{2}$ 或 $x>\sqrt{2}$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，函数单调递增；当 $-\sqrt{2}<x<\sqrt{2}$ 时 $f^{\prime }(x)<0$．故单调递增区间为 $(-\infty ,-\sqrt{2})$ 和 $(\sqrt{2},+\infty )$． 在 $[-1,3]$ 上，临界点只有 $x=\sqrt{2}$．计算端点与临界点处的函数值： $f(-1)=-2+12=10$，　$f(\sqrt{2})=4\sqrt{2}-12\sqrt{2}=-8\sqrt{2}$，　$f(3)=54-36=18$． 比较得：函数在 $[-1,3]$ 上的最大值为 $18$，最小值为 $-8\sqrt{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数切线与最值

核心方法：$c=0$，$f^{\prime }(1)=-6$，$f^{\prime }(x)$ 最小值 $b=-12$ 得 $a=2$；$[-1,3]$ 上 $f(3)=18$ 最大，$f(\sqrt{2})=-8\sqrt{2}$ 最小

避坑指南：$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+b$ 有最小值要求 $a>0$，最小值在 $x=0$ 取 $b$；闭区间最值把端点与临界点全算一遍，漏 $f(-1)=10$ 会误判

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三次函数切线与闭区间最值是全国卷导数大题的标准形，四川卷首次独立命题

结论推广：推广：$f(x)=a{x}^3+bx$ 型在 $[-t,t]$ 上的最值由 $f^{\prime }$ 零点与端点比较确定

方法推广：奇函数条件先定 $c=0$；“导函数最小值”与”函数最值”是两个对象，分别求：前者看二次函数开口与顶点，后者列表比较端点与极值点

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练(Links)

• 2008-四川卷文-20 解-五次函数极值定参
• 2009-四川卷文-20 解-切线定参与极值
• 2008-大纲卷II文-21 解-三次函数极值与最值恒成立
• 2009-大纲卷I文-21 解-导数单调与切线