2009-大纲卷I文-21 解-导数单调与切线

本题导读

导数综合题。(1) 对 $f^{\prime }(x)=2x(2x^2-3)$ 列表讨论单调性；(2) 切线过原点化为 $f(t)=t{f}^{\prime }(t)$，解出切点横坐标 $t^2=2$。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(文)） 已知函数 $f(x)=x^4-3x^2+6$.

(1)讨论 $f(x)$ 的单调性；

(2)设点 $P$ 在曲线 $y=f(x)$ 上，若该曲线在点 $P$ 处的切线 $l$ 通过坐标原点，求 $l$ 的方程.

🔍【思路分析】

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1. (1) $f^{\prime }(x)=4x^3-6x=2x(2x^2-3)$，零点为 $x=0$，$\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$，列表定增减。
2. (2) 设切点 $(t,f(t))$，切线过原点 $⟺f(t)=t{f}^{\prime }(t)$，化简得 $t^4-t^2-2=0$，解 $t^2=2$。

✅【答案】

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(1) 增区间 $\left(-\sqrt{\frac{3}{2}},0\right)$ 与 $\left(\sqrt{\frac{3}{2}},+\infty \right)$，减区间 $\left(-\infty ,-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)$ 与 $\left(0,\sqrt{\frac{3}{2}}\right)$ (2) $y=2\sqrt{2}x$ 或 $y=-2\sqrt{2}x$

✍【详细解析】

Abstract

（1） $f^{\prime }(x)=4x^3-6x=2x(2x^2-3)$。 令 $f^{\prime }(x)=0$ 得 $x=0$ 或 $x=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$。

• 当 $x<-\sqrt{\frac{3}{2}}$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；
• 当 $-\sqrt{\frac{3}{2}}<x<0$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；
• 当 $0<x<\sqrt{\frac{3}{2}}$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；
• 当 $x>\sqrt{\frac{3}{2}}$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增。 故增区间为 $\left(-\sqrt{\frac{3}{2}},0\right)$ 与 $\left(\sqrt{\frac{3}{2}},+\infty \right)$，减区间为 $\left(-\infty ,-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)$ 与 $\left(0,\sqrt{\frac{3}{2}}\right)$。

（2） 设切点 $P(t,f(t))$，则切线斜率 $k=f^{\prime }(t)=2t(2t^2-3)$。切线过原点，即 $f(t)-0=k(t-0)⟹f(t)=t{f}^{\prime }(t).$ 代入得 $t^4-3t^2+6=2t^2(2t^2-3)=4t^4-6t^2$，整理得 $t^4-t^2-2=0⟹(t^2-2)(t^2+1)=0⟹t^2=2.$ 故 $t=\pm \sqrt{2}$，$f(\pm \sqrt{2})=4-6+6=4$，$k=2t(2t^2-3)=2t$。 当 $t=\sqrt{2}$ 时 $k=2\sqrt{2}$，切线 $y=2\sqrt{2}x$；当 $t=-\sqrt{2}$ 时 $k=-2\sqrt{2}$，切线 $y=-2\sqrt{2}x$。 故 $l$ 的方程为 $y=2\sqrt{2}x$ 或 $y=-2\sqrt{2}x$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数研究单调性与切线方程

核心方法：因式分解判号 + 过原点切线设切点

避坑指南：$f^{\prime }(x)=2x(2x^2-3)$ 有三个零点；切线过原点即 $f(t)=t{f}^{\prime }(t)$，$t^2+1=0$ 的复根舍去。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：单调性讨论与切线方程是导数解答题两大基础板块。

结论推广：$f^{\prime }$ 零点分段定增减；切线过定点 $(x_0,y_0)$ 等价于 $f(t)-y_0=f^{\prime }(t)(t-x_0)$。

方法推广：四次多项式求导后先提公因式再分解，判号列表一目了然。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-21 解-导数单调性与恒成立
• 2011-重庆卷文-03 单-导数切线
• 2011-山东卷文-04 单-导数切线截距