2007-四川卷理-09 单-二元目标函数最值

本题导读

本题考查线性规划在实际投资优化中的应用。通过将资金限额及各项投资比例约束转化为线性不等式组，构建目标利润函数，运用数形结合或代数放缩法求解最大收益。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(理)） 某公司有 60 万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的 $\frac{2}{3}$ 倍，且对每个项目的投资不能低于 5 万元，对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万元的利润，对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为()

A. 36 万元　　　B. 31.2 万元　　　C. 30.4 万元　　　D. 24 万元

🔍【思路分析】

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1. 设立未知数并建系：设投资甲、乙项目分别为 $x,y$ 万元，根据题意列出约束条件不等式组。

2. 构建目标函数：利润 $z=0.4x+0.6y$．

3. 代数放缩：由于项目乙的单位回报率（0.6）大于项目甲（0.4），为使利润最大，应在总资金 60 万元全部用完的前提下，尽可能让 $y$ 取得最大值，利用边界解出交点。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设该公司对项目甲投资 $x$ 万元，对项目乙投资 $y$ 万元，总利润为 $z$ 万元． 由题意可列出约束条件不等式组： $\{\begin{array}{l}x+y\le 60\\ x\ge \frac{2}{3}y\\ x\ge 5\\ y\ge 5\end{array}$ 目标利润函数为： $z=0.4x+0.6y$ 由于两个项目的利润率均为正数，要使总利润 $z$ 最大，必有资金全部投出，即 $x+y=60⟹x=60-y$． 将目标函数变形为： $z=0.4(60-y)+0.6y=24+0.2y$ 可见，利润 $z$ 随 $y$ 的增大而增大． 为了让 $z$ 最大，需寻找 $y$ 的最大可能取值． 将 $x=60-y$ 代入条件 $x\ge \frac{2}{3}y$ 得： $60-y\ge \frac{2}{3}y⟹60\ge \frac{5}{3}y⟹y\le 36$ 此时对应 $x=60-36=24$，满足 $x\ge 5,y\ge 5$ 的基准投资要求． 故当 $y=36,x=24$ 时，利润 $z$ 取得最大值： $z_{\text{max}}=24+0.2\times 36=31.2\text{ 万元}$ 故选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划实际建模，二元一次不等式组的边界极值判定。

2. 核心方法：代数代入消元单调性分析法。

3. 避坑指南：容易由于直观感觉将资金平分或直接取某个下限边界，需牢记对于 $z=Ax+By$ 型目标函数，优化方向由系数的相对大小单调性决定。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于教材中线性规划在生产运筹学中的经典资源分配问题，考查代数建模与最优化方案的选择。

5. 结论推广：在有界资金总量 $C$ 的投资模型中，若两种渠道的收益率不同，最优策略永远是让收益率高的项目在政策边界允许的范围内达到最大配额。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷理-04 单-二项分布