2007-四川卷理-21 解-等比数列证明通项公式

本题导读

本题是一道融导数、数列、不等式于一体的综合压轴题。第一问要求根据切线与 $x$ 轴的交点建立数列的递推关系；第二问考查一阶非线性递推数列的单调性与初始值的关系，需要灵活运用充要条件的证明逻辑和基本不等式；第三问通过对数构造，利用同构变形证明等比数列并反解出原数列的通项。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(理)） 已知函数 $f(x)=x^2-4$，设曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_n,f(x_n))$ 处的切线与 $x$ 轴的交点为 $(x_{n+1},0)$ ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$)，其中 $x_1$ 为正实数。

(1) 用 $x_n$ 表示 $x_{n+1}$；

(2) 求证：对一切正整数 $n$，$x_{n+1}\le x_n$ 的充要条件是 $x_1\ge 2$；

(3) 若 $x_1=4$，记 $a_n=\lg \frac{x_n+2}{x_n-2}$，证明数列 $\{a_n\}$ 成等比数列，并求数列 $\{x_n\}$ 的通项公式。

🔍【思路分析】

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1. 对于(1)，求出 $f(x)$ 的导数，写出点 $(x_n,f(x_n))$ 处的切线方程，令 $y=0$ 即可解出 $x_{n+1}$ 关于 $x_n$ 的表达式；
2. 对于(2)，必要性可通过取 $n=1$ 得到 $x_2\le x_1$ 直接解出 $x_1$ 的范围；充分性需利用基本不等式证明当 $x_1\ge 2$ 时，所有项 $x_n\ge 2$，进而通过作差法证明 $x_{n+1}-x_n\le 0$ 恒成立；
3. 对于(3)，将 $x_{n+1}$ 的表达式代入 $\frac{x_{n+1}+2}{x_{n+1}-2}$ 进行因式分解与完全平方化简，从而得到 $a_{n+1}=2a_n$，确认首项不为0后即可证明等比数列，最后由 $a_n$ 的通项公式反解出 $x_n$。

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对一切正整数 $n$，$x_{n+1}\le x_n$ 的充要条件是 $x_1\ge 2$

✍【详细解析】

Abstract

解： (1) 易得 $f^{\prime }(x)=2x$，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_n,x_n^2-4)$ 处的切线方程为： $y-(x_n^2-4)=2x_n(x-x_n)$ 令 $y=0$，得 $-(x_n^2-4)=2x_n(x_{n+1}-x_n)$， 化简得 $2x_n{x}_{n+1}=x_n^2+4$。 因为 $x_1>0$，可递推知 $x_n>0$， 所以 $x_{n+1}=\frac{x_n^2+4}{2x_n}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{4}{x_n}\right)$。

(2) 证明： 必要性： 若对一切正整数 $n$ 都有 $x_{n+1}\le x_n$，则当 $n=1$ 时必有 $x_2\le x_1$。 即 $\frac{1}{2}\left(x_1+\frac{4}{x_1}\right)\le x_1⟹x_1+\frac{4}{x_1}\le 2x_1⟹\frac{4}{x_1}\le x_1$。 由 $x_1>0$ 得 $x_1^2\ge 4⟹x_1\ge 2$。

充分性： 若 $x_1\ge 2$，由(1)知当 $x_n>0$ 时， $x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{4}{x_n}\right)\ge \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{x_n\cdot \frac{4}{x_n}}=2$ 当且仅当 $x_n=2$ 时等号成立。 这说明对一切 $n\ge 2$ 都有 $x_n\ge 2$，又 $x_1\ge 2$，故对一切正整数 $n$ 均有 $x_n\ge 2$。 此时： $x_{n+1}-x_n=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{4}{x_n}\right)-x_n=\frac{4-x_n^2}{2x_n}$ 因为 $x_n\ge 2$，所以 $4-x_n^2\le 0$，又 $2x_n>0$， 所以 $x_{n+1}-x_n\le 0$，即 $x_{n+1}\le x_n$ 对一切正整数 $n$ 恒成立。 综上所述，对一切正整数 $n$，$x_{n+1}\le x_n$ 的充要条件是 $x_1\ge 2$。

(3) 证明与求解： 将 $x_{n+1}=\frac{x_n^2+4}{2x_n}$ 代入分式中化简： $\frac{x_{n+1}+2}{x_{n+1}-2}=\frac{\frac{x_n^2+4}{2x_n}+2}{\frac{x_n^2+4}{2x_n}-2}=\frac{x_n^2+4x_n+4}{x_n^2-4x_n+4}=\frac{(x_n+2{)}^2}{(x_n-2{)}^2}={\left(\frac{x_n+2}{x_n-2}\right)}^2$ 两边取以 10 为底的对数得： $a_{n+1}=\lg \frac{x_{n+1}+2}{x_{n+1}-2}=\lg {\left(\frac{x_n+2}{x_n-2}\right)}^2=2\lg \frac{x_n+2}{x_n-2}=2a_n$ 当 $x_1=4$ 时，$a_1=\lg \frac{4+2}{4-2}=\lg 3\ne 0$。 所以数列 $\{a_n\}$ 是以 $a_1=\lg 3$ 为首项，$2$ 为公比的等比数列。

由此可得数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=\lg 3\cdot 2^{n-1}=\lg \left(3^{2^{n-1}}\right)$。 根据 $a_n$ 的定义有： $\lg \frac{x_n+2}{x_n-2}=\lg \left(3^{2^{n-1}}\right)⟹\frac{x_n+2}{x_n-2}=3^{2^{n-1}}$ 去分母变形得： $x_n+2=3^{2^{n-1}}\cdot x_n-2\cdot 3^{2^{n-1}}⟹\left(3^{2^{n-1}}-1\right)x_n=2\left(3^{2^{n-1}}+1\right)$ 由于 $3^{2^{n-1}}-1\ne 0$，解得 $x_n$ 的通项公式为： $x_n=\frac{2\left(3^{2^{n-1}}+1\right)}{3^{2^{n-1}}-1}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数切线几何意义、双曲型一阶递推数列、利用同构手段（代数分式完全平方化）转化等比数列。
2. 核心方法：

• 必要性证明常用的“特殊值法”（取 $n=1$ 缩窄范围）。
• 证明等比数列的通用步骤 $a_{n+1}=q\cdot a_n$。

3. 避坑指南：

• 易错点在第(3)问：在宣布一个数列是等比数列之前，必须计算并明确指出首项 $a_1\ne 0$，否则在严谨的高考阅卷中会被扣除定义分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题具有深厚的高等数学和计算数学背景，其原型是数值分析中求解方程实根的牛顿迭代法（Newton-Raphson method）。对于方程 $f(x)=x^2-4=0$，其牛顿迭代递推式恰为 $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{4}{x_n}\right)$。第二问本质上是在论证该迭代法从不同初始值出发时的单调收敛性。
2. 结论推广：对于任何形如 $x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{k}{x_n}\right)(k>0,x_1>0)$ 的分式递推数列，若设 $a_n=\ln \left|\frac{x_n-\sqrt{k}}{x_n+\sqrt{k}}\right|$，均可通过平方同构变形证明 $\{a_n\}$ 是公比为 $2$ 的等比数列。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2012-大纲卷理-22 解-数列综合
• 2019-全国卷III理-21 解-抛物线切线