2012-大纲卷理-22 解-数列综合

本题导读

本题考查数列递推式。核心在于数学归纳法、放缩法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年大纲卷(理)）

已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ ，定义数列 ${x_{n}}$ 如下： $x_{1} = 2$ ， $x_{n + 1}$ 是过两点 $P (4, 5)$ 、 $Q_{n} (x_{n}, f (x_{n}))$ 的直线 $P Q_{n}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标.

(1)证明： $2 \leq x_{n} < x_{n + 1} < 3$ ；

(2)求数列 ${x_{n}}$ 的通项公式.

🔍【思路分析】

破题导航

构建数列的递推代数式：

设 $Q_{n}$ 的坐标为 $(x_{n}, x_{n}^{2} - 2 x_{n} - 3)$ 。

利用两点式写出割线 $P Q_{n}$ 的直线方程，令 $y = 0$ 求出其与 $x$ 轴交点的横坐标，该横坐标即为 $x_{n + 1}$ 。由此可得核心递推关系： $x_{n + 1} = \frac{3 + 4 x _{n}}{2 + x _{n}}$ 。

第（Ⅰ）问思路：

题目涉及不等式 $2 \leq x_{n} < x_{n + 1} < 3$ 对一切 $n \in N^{*}$ 均成立，这是典型的与正整数相关的恒成立命题，首选数学归纳法。

验证 $n = 1$ 的初始状态是否成立。

假设 $n = k$ 时结论成立，证明 $n = k + 1$ 时结论也成立。证明过程中，有界性 $x_{k + 2} < 3$ 可通过对递推函数分子分母的分离放缩法进行突破；单调性 $x_{k + 1} < x_{k + 2}$ 则推荐使用作差法，观察差值分式的符号。

第（Ⅱ）问思路：

递推式属于一阶分式线性变换模型 $x_{n + 1} = \frac{a x _{n} + b}{c x _{n} + d}$ 。这类数列的标准解法是不动点法。

令 $x = \frac{3 + 4 x}{2 + x}$ 解得特征方程的根（不动点）为 $x = 3$ 或 $x = - 1$ 。

依据不动点 3 构造辅助数列 $b_{n} = x_{n} - 3$ 。将递推式两边同时减去 3 并进行通分化简，可得 $b_{n + 1} = \frac{b _{n}}{2 + x _{n}} = \frac{b _{n}}{5 + b _{n}}$ 。

将上式两边同时取倒数，可以完美将复杂的非线性分式递推转化为标准的线性递推结构 $\frac{1}{b _{n + 1}} = \frac{5}{b _{n}} + 1$ ，进而通过添加常数构造出等比数列，求出通项。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $x_{n} = 3 - \frac{4}{3 \times 5 ^{n - 1} + 1}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）证明：

首先推导数列 ${x_{n}}$ 的递推公式。

已知 $P (4, 5)$ ，且 $Q_{n} (x_{n}, f (x_{n}))$ 位于函数 $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ 的图象上，即：

$Q_{n} (x_{n}, x_{n}^{2} - 2 x_{n} - 3)$

直线 $P Q_{n}$ 的斜率为：

$k = \frac{( x _{n}^{2} - 2 x _{n} - 3 ) - 5}{x _{n} - 4} = \frac{x _{n}^{2} - 2 x _{n} - 8}{x _{n} - 4} = \frac{( x _{n} - 4 ) ( x _{n} + 2 )}{x _{n} - 4}$

根据后续证明可知 $x_{n} \in [2, 3)$ ，则 $x_{n} \neq = 4$ ，约分约去 $(x_{n} - 4)$ 得：

$k = x_{n} + 2$

由点斜式写出直线 $P Q_{n}$ 的方程：

$y - 5 = (x_{n} + 2) (x - 4)$

令 $y = 0$ ，求得直线与 $x$ 轴交点的横坐标 $x_{n + 1}$ ：

$- 5 = (x_{n} + 2) (x_{n + 1} - 4) ⟹ x_{n + 1} - 4 = - \frac{5}{x _{n} + 2}$

$x_{n + 1} = 4 - \frac{5}{2 + x _{n}} = \frac{4 ( 2 + x _{n} ) - 5}{2 + x _{n}} = \frac{3 + 4 x _{n}}{2 + x _{n}}$

下面用数学归纳法证明不等式 $2 \leq x_{n} < x_{n + 1} < 3$ 对一切 $n \in N^{*}$ 均成立：

当 $n = 1$ 时：

已知 $x_{1} = 2$ 。代入递推式求出 $x_{2}$ ：

$x_{2} = \frac{3 + 4 \times 2}{2 + 2} = \frac{11}{4}$

显然满足 $2 \leq 2 < \frac{11}{4} < 3$ ，即 $2 \leq x_{1} < x_{2} < 3$ 成立。

假设当 $n = k (k \in N^{*})$ 时结论成立：

即假设 $2 \leq x_{k} < x_{k + 1} < 3$ 成立。

下面审视 $n = k + 1$ 时的表现，即需要证明 $2 \leq x_{k + 1} < x_{k + 2} < 3$ ：

证明右边界有界性 $x_{k + 2} < 3$ ：

由递推式将分式的分子分离常数化：

$$x_{k+2} = 4 - \frac{5}{2 + x_{k+1}}$$

根据归纳假设，已满足 $x_{k+1} < 3$，则：

$$2 + x_{k+1} < 2 + 3 = 5 \implies \frac{5}{2 + x_{k+1}} > \frac{5}{5} = 1$$

两边乘以 $-1$ 并加上 4 改变不等号方向：

$$x_{k+2} = 4 - \frac{5}{2 + x_{k+1}} < 4 - 1 = 3$$

即 $x_{k+2} < 3$ 成立。由于由假设已知 $2 \le x_{k+1}$，显然 $2 \le x_{k+1} < x_{k+2} < 3$ 的有界部分完全成立。

证明单调性 $x_{k + 1} < x_{k + 2}$ ：

采用作差法，计算 $x_{k+2} - x_{k+1}$ 的符号：

$$x_{k+2} - x_{k+1} = \frac{3 + 4x_{k+1}}{2 + x_{k+1}} - x_{k+1} = \frac{3 + 4x_{k+1} - x_{k+1}(2 + x_{k+1})}{2 + x_{k+1}}$$

$$\text{分子} = 3 + 4x_{k+1} - 2x_{k+1} - x_{k+1}^2 = -x_{k+1}^2 + 2x_{k+1} + 3 = (3 - x_{k+1})(1 + x_{k+1})$$

由此得：

$$x_{k+2} - x_{k+1} = \frac{(3 - x_{k+1})(1 + x_{k+1})}{2 + x_{k+1}}$$

根据归纳假设已知 $2 \le x_{k+1} < 3$，因此满足：

$$3 - x_{k+1} > 0, \quad 1 + x_{k+1} > 0, \quad 2 + x_{k+1} > 0$$

这说明该分式的分子与分母各项全部为正数，则：

$$x_{k+2} - x_{k+1} > 0 \implies x_{k+1} < x_{k+2}$$

综上所述，当 $n = k + 1$ 时，结论 $2 \leq x_{k + 1} < x_{k + 2} < 3$ 依然成立。

由①、②可知，对一切 $n \in N^{*}$ ，均有 $2 \leq x_{n} < x_{n + 1} < 3$ 。

（Ⅱ）解：

根据（Ⅰ）中求出的数列递推公式：

$x_{n + 1} = \frac{3 + 4 x _{n}}{2 + x _{n}}$

利用不动点法，令 $x = \frac{3 + 4 x}{2 + x} ⟹ x^{2} + 2 x = 3 x + 3 ⟹ x^{2} - x - 3 = 0$ 得到特征根。

根据第一问的右边界上限为 3，我们选择围绕不动点 3 构造辅助数列。

设 $b_{n} = x_{n} - 3$ ，则 $x_{n} = b_{n} + 3$ 。代入原递推式中：

$b_{n + 1} + 3 = \frac{3 + 4 ( b _{n} + 3 )}{2 + ( b _{n} + 3 )} = \frac{4 b _{n} + 15}{b _{n} + 5}$

两边同时减去 3 进行通分：

$b_{n + 1} = \frac{4 b _{n} + 15}{b _{n} + 5} - 3 = \frac{4 b _{n} + 15 - 3 ( b _{n} + 5 )}{b _{n} + 5} = \frac{b _{n}}{b _{n} + 5}$

由于由（Ⅰ）可知 $x_{n} < 3$ ，则 $b_{n} = x_{n} - 3 < 0$ ，即 $b_{n} \neq = 0$ 。

将上式两边同时取倒数，变形为线性结构：

$\frac{1}{b _{n + 1}} = \frac{b _{n} + 5}{b _{n}} = \frac{5}{b _{n}} + 1$

为了构造等比数列，采用待定系数法，两边同时加上常数 $k$ ：

$\frac{1}{b _{n + 1}} + k = 5 (\frac{1}{b _{n}} + k) ⟹ \frac{1}{b _{n + 1}} = \frac{5}{b _{n}} + 4 k$

对照系数可知 $4 k = 1 ⟹ k = \frac{1}{4}$ 。

由此得：

$\frac{1}{b _{n + 1}} + \frac{1}{4} = 5 (\frac{1}{b _{n}} + \frac{1}{4})$

根据等比数列的定义，数列 ${\frac{1}{b _{n}} + \frac{1}{4}}$ 是一个以 5 为公比的等比数列。

计算其次项首项：

因为 $x_{1} = 2$ ，则 $b_{1} = x_{1} - 3 = 2 - 3 = - 1$ 。

$首项 = \frac{1}{b _{1}} + \frac{1}{4} = \frac{1}{- 1} + \frac{1}{4} = - \frac{3}{4}$

由等比数列通项公式可得：

$\frac{1}{b _{n}} + \frac{1}{4} = (- \frac{3}{4}) \times 5^{n - 1}$

移项提公因式通分：

$\frac{1}{b _{n}} = - \frac{3}{4} \times 5^{n - 1} - \frac{1}{4} = - \frac{3 \times 5 ^{n - 1} + 1}{4}$

再次取倒数求出 $b_{n}$ 的通项公式：

$b_{n} = - \frac{4}{3 \times 5 ^{n - 1} + 1}$

由于 $x_{n} = b_{n} + 3$ ，代回变量还原：

$x_{n} = 3 - \frac{4}{3 \times 5 ^{n - 1} + 1}$

所以，数列 ${x_{n}}$ 的通项公式为 $x_{n} = 3 - \frac{4}{3 \times 5 ^{n - 1} + 1}$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：解析几何两点式斜率化简、数学归纳法在数列有界性证明中的应用、分式变换数列的一般求法。

核心方法：不动点取倒数构造法。对于形如 $x_{n + 1} = \frac{a x _{n} + b}{c x _{n} + d}$ 的分式递推数列，利用特征方程解出不动点 $x_{0}$ ，通过平移 $b_{n} = x_{n} - x_{0}$ 能够将分式分子上的常数项彻底消除，从而创造出取倒数后直接退化为标准等差/等比构造式（ $\frac{1}{b _{n + 1}} = p \cdot \frac{1}{b _{n}} + q$ ）的精妙代数环境。

避坑指南：

割线斜率通分错误：在初设直线 $P Q_{n}$ 时，分子的多项式是二次项，切记先对其进行因式分解： $x_{n}^{2} - 2 x_{n} - 8 = (x_{n} - 4) (x_{n} + 2)$ 。通过与分母 $(x_{n} - 4)$ 约分，能使直线斜率化简为极其干净的一次式 $k = x_{n} + 2$ ，若直接强行带入一般分式方程，会导致后续运算彻底失控。

归纳假设代入混乱：在第（Ⅰ）问证明 $n = k + 1$ 时的单调性时，作差展开后的分子因式为 $(3 - x_{k + 1}) (1 + x_{k + 1})$ 。由于下标已更新为 $k + 1$ ，需明确利用前面已证出来的有界上限 $x_{k + 1} < 3$ ，从而判定该差值项严格大于 0。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第四章《数列》中关于非等差等比数列递推求通项的高阶拓展习题。其高等数学背景可追溯到计算数学与数值分析中的牛顿迭代法（Newton’s method）以及复变函数中的莫比乌斯变换（Möbius transformation）。

结论推广:

莫比乌斯分式递推矩阵通式解法：对于任意一阶分式线性递推数列 $x_{n + 1} = \frac{a x _{n} + b}{c x _{n} + d}$ 。在高等代数中，其等价于一个线性映射矩阵：

$$M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

该递推数列的第 $n$ 项结果，本质上完全由该变换矩阵的 $n - 1$ 次方幂乘运算（ $M^{n - 1}$ ）决定。

通过对矩阵 $M$ 进行特征值与特征向量分解（即求矩阵的对角化），可直接导出其通项公式的结构。本题中变换矩阵为 $M = (4132)$ 。

计算其特征多项式： $det (M - λ I) = (4 - λ) (2 - λ) - 3 = λ^{2} - 6 λ + 5 = 0 ⟹ λ_{1} = 5, λ_{2} = 1$ 。

提取出矩阵的特征值 $λ_{1} = 5, λ_{2} = 1$ 后，其对应的通项分式结构中必然存在以 5 的 $n - 1$ 次方为核心的指数项。通过高等数学中“莫比乌斯矩阵幂乘法”这一最高阶视角，可以完全脱离“取倒数、凑常数”等初等代数的繁琐拼接，直接实现对任何高难度分式递推数列通项公式的快速得出。

🔗【关联脉络】

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16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

2002-新课标理-22 解-数列的递推关系

2005-辽宁卷-19 解-数学归纳法

2005-重庆卷理-22 解-数学归纳法

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