2007-大纲卷I文-04 单-双曲线的标准方程

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的离心率。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(文)） 已知双曲线的离心率为 $2$，焦点是 $(-4,0)$，$(4,0)$，则双曲线方程为 ()

A. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$　B. $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1$　C. $\frac{x^2}{10}-\frac{y^2}{6}=1$　D. $\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{10}=1$

🔍【思路分析】

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1. 焦点在 $x$ 轴上，$c=4$。
2. $e=\frac{c}{a}=2\Rightarrow a=2$，$b^2=c^2-a^2=12$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由焦点 $(\pm 4,0)$ 知焦点在 $x$ 轴上且 $c=4$． 由离心率 $e=\frac{c}{a}=2$ 得 $a=\frac{c}{2}=2$，故 $b^2=c^2-a^2=16-4=12$． 所以双曲线方程为 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1,$ 选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的标准方程

核心方法：由焦点定 $c$、由离心率定 $a$，$b^2=c^2-a^2$

避坑指南：双曲线中 $b^2=c^2-a^2$（与椭圆相反）；焦点在 $x$ 轴时 $x^2$ 项系数为正。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：给定离心率与焦点求标准方程是双曲线小题的标准起手式。

结论推广：$e=\frac{c}{a}$ 与 $c^2=a^2+b^2$ 联立可定 $a$、$b$。

方法推广：三步走：定焦点位置 → 定 $a$ → 算 $b^2$，最后核对焦点落点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练(Links)

• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率
• 2014-新课标I卷理-04 单-双曲线标准方程