2007-大纲卷I文-09 单-充分必要条件的判定

本题导读

本题考查充分条件与必要条件，以及函数的奇偶性。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(文)） $f(x)$，$g(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数，$h(x)=f(x)+g(x)$，则“$f(x)$，$g(x)$ 均为偶函数”是“$h(x)$ 为偶函数”的 ()

A. 充要条件　　　　　　　　　　　　B. 充分而不必要的条件

C. 必要而不充分的条件　　　　　　　D. 既不充分也不必要的条件

🔍【思路分析】

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1. 充分性：$f$、$g$ 均偶时 $h(-x)=f(-x)+g(-x)=h(x)$。
2. 必要性：找反例 $f(x)=x$，$g(x)=-x$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

充分性：若 $f(x)$、$g(x)$ 均为偶函数，则 $h(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=h(x),$ 即 $h(x)$ 为偶函数，充分性成立。 必要性：取 $f(x)=x$，$g(x)=-x$，则 $f$、$g$ 都不是偶函数，而 $h(x)=0$ 是偶函数，即由“$h(x)$ 为偶函数”推不出“$f$、$g$ 均为偶函数”，必要性不成立。 综上，“$f(x)$，$g(x)$ 均为偶函数”是“$h(x)$ 为偶函数”的充分而不必要的条件，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：充分必要条件的判定

核心方法：充分性正面推导 + 必要性举反例

避坑指南：”$h$ 为偶”推不出”$f$、$g$ 均偶”：反例 $f(x)=x$、$g(x)=-x$ 相互抵消；认为”偶加偶必偶、偶函数只能拆成偶函数”是常见误区。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：条件关系与函数性质的交汇题考查逻辑推理的严谨性。

结论推广：奇偶函数之和的奇偶性：两个偶函数之和为偶，两个奇函数之和为奇，一奇一偶之和一般既不奇也不偶（除零函数）。

方法推广：判定充要关系固定两步：先证充分性，再找反例否定必要性（或证明之）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练(Links)

• 2008-重庆卷文-02 单-充分不必要条件
• 2011-大纲卷文-05 单-充分不必要条件