2007-大纲卷I文-19 解-线面垂直与线面角

本题导读

本题考查面面垂直的性质。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(文)） 四棱锥 $S-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为平行四边形，侧面 $SBC\perp$ 底面 $ABCD$．已知 $\angle ABC=45^{\circ }$，$AB=2$，$BC=2\sqrt{2}$，$SA=SB=\sqrt{3}$． （1）证明：$SA\perp BC$； （2）求直线 $SD$ 与平面 $SAB$ 所成角的大小．

🔍【思路分析】

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1. 以 $B$ 为原点建系：$A=(\sqrt{2},\sqrt{2},0)$，$C=(2\sqrt{2},0,0)$，$D=(3\sqrt{2},\sqrt{2},0)$；$S$ 在侧面 $SBC$（即平面 $y=0$）内，设 $S=(u,0,v)$。
2. $SA=SB=\sqrt{3}$ 两个方程解出 $u=\sqrt{2}$、$v=1$。
3. （1）数量积为零即垂直；（2）$\mathbf{n}=\overrightarrow{SA}\times \overrightarrow{SB}$，$\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{SD}\cdot \mathbf{n}|}{|\overrightarrow{SD}||\mathbf{n}|}$。

✅【答案】

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（1）证明见解析；（2）$\theta =\arcsin \frac{\sqrt{22}}{11}$

✍【详细解析】

Abstract

建立空间直角坐标系：取 $B=(0,0,0)$，$BC$ 所在直线为 $x$ 轴．由 $\angle ABC=45^{\circ }$、$AB=2$ 得 $A=(\sqrt{2},\sqrt{2},0),C=(2\sqrt{2},0,0),D=A+\overrightarrow{BC}=(3\sqrt{2},\sqrt{2},0).$ 侧面 $SBC\perp$ 底面 $ABCD$ 且交线为 $BC$，故 $S$ 在平面 $y=0$ 内，设 $S=(u,0,v)$．由 $SA=SB=\sqrt{3}$： $\{\begin{array}{l}{u}^2+v^2=3,\\ (u-\sqrt{2}{)}^2+2+v^2=3,\end{array}$ 两式相减得 $2\sqrt{2}u-2=2$，即 $u=\sqrt{2}$，代回得 $v^2=1$，取 $v=1$，故 $S=(\sqrt{2},0,1)$． （1） $\overrightarrow{SA}=(0,\sqrt{2},-1)$，$\overrightarrow{BC}=(2\sqrt{2},0,0)$， $\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{BC}=0+0+0=0,$ 所以 $SA\perp BC$． （2） $\overrightarrow{SB}=(-\sqrt{2},0,-1)$，$\overrightarrow{SD}=(2\sqrt{2},\sqrt{2},-1)$． 取平面 $SAB$ 的法向量 $\mathbf{n}=\overrightarrow{SA}\times \overrightarrow{SB}=(-\sqrt{2},\sqrt{2},2),|\mathbf{n}|=\sqrt{2+2+4}=2\sqrt{2},$ 且 $|\overrightarrow{SD}|=\sqrt{8+2+1}=\sqrt{11}$，$|\overrightarrow{SD}\cdot \mathbf{n}|=|-4+2-2|=4$． 设直线 $SD$ 与平面 $SAB$ 所成角为 $\theta$，则 $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{SD}\cdot \mathbf{n}|}{|\overrightarrow{SD}|\cdot |\mathbf{n}|}=\frac{4}{\sqrt{11}\times 2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{22}}{11},$ 故 $\theta =\arcsin \frac{\sqrt{22}}{11}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直与线面角

核心方法：建系定坐标 → 数量积证垂直 → 法向量求线面角

避坑指南：$S$ 的位置由”侧面 $SBC\perp$ 底面”与"$SA=SB$"共同锁定，坐标设错后面全错；线面角用 $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{SD}\cdot \mathbf{n}|}{|\overrightarrow{SD}||\mathbf{n}|}$，别误用 $\cos$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：面面垂直性质 + 线面垂直证明 + 线面角计算是立体几何解答题的标准三问结构（2008 大纲Ⅰ文第 18 题同族）。

结论推广：面面垂直的性质定理：两平面垂直，交线垂直于其中一个平面内直线，则该直线垂直于另一平面。

方法推广：坐标法三件套：定原点与轴 → 解未知坐标 → 数量积（垂直 / 角）收尾。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练(Links)

• 2008-大纲卷I文-18 解-四棱锥垂直二面角
• 2010-湖北卷文-18 解-线面垂直与线面角