2007-大纲卷I文-20 解-导数极值与恒成立

本题导读

本题考查利用导数研究函数的极值。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(文)） 设函数 $f(x)=2x^3+3a{x}^2+3bx+8c$ 在 $x=1$ 及 $x=2$ 时取得极值． （1）求 $a$，$b$ 的值； （2）若对于任意的 $x\in [0,3]$，都有 $f(x)<c^2$ 成立，求 $c$ 的取值范围．

🔍【思路分析】

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1. $f^{\prime }(x)=6x^2+6ax+3b$，由 $f^{\prime }(1)=f^{\prime }(2)=0$ 解出 $a$、$b$。
2. （2）$f^{\prime }(x)=6(x-1)(x-2)$，$[0,3]$ 上最大值在端点 $x=3$：$9+8c$。
3. 恒成立化为 $9+8c<c^2$，解二次不等式。

✅【答案】

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（1）$a=-3$，$b=4$；（2）$c<-1$ 或 $c>9$

✍【详细解析】

Abstract

（1） $f^{\prime }(x)=6x^2+6ax+3b$．由 $x=1$、$x=2$ 为极值点，得 $\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(1)=6+6a+3b=0,\\ f^{\prime }(2)=24+12a+3b=0,\end{array}$ 即 $2+2a+b=0$，$8+4a+b=0$，两式相减得 $a=-3$，代回得 $b=4$． （2） $f(x)=2x^3-9x^2+12x+8c$，$f^{\prime }(x)=6(x-1)(x-2)$． 在 $[0,3]$ 上：$[0,1]$ 增、$[1,2]$ 减、$[2,3]$ 增．计算端点与极值点函数值： $f(0)=8c,f(1)=5+8c,f(2)=4+8c,f(3)=9+8c,$ 故 $[0,3]$ 上的最大值为 $f(3)=9+8c$． 对任意 $x\in [0,3]$ 都有 $f(x)<c^2$，等价于最大值满足 $9+8c<c^2⟺c^2-8c-9>0⟺(c-9)(c+1)>0,$ 解得 $c<-1$ 或 $c>9$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数极值与恒成立

核心方法：极值点列方程组定参 → 闭区间最大值 → 恒成立转二次不等式

避坑指南：”$f(x)<c^2$ 对任意 $x\in [0,3]$ 成立”等价于最大值严格小于 $c^2$（含等号比较方向别弄反）；二次不等式 $(c-9)(c+1)>0$ 的解是”两根之外”，别写成 $-1<c<9$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三次函数给定两个极值点求参，再接恒成立求参数范围，是大纲卷导数解答题的经典两问结构（2008 安徽文 20、2008 大纲Ⅱ文 21 同型）。

结论推广：$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ 的极值点由 $f^{\prime }(x)=0$ 的根给出；闭区间最值在极值点与端点中产生。

方法推广：恒成立问题两步：先求出另一侧的最值（含端点与极值点比较），再解参数不等式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.19 恒成立问题——转化为最值法

类题演练(Links)

• 2008-安徽卷文-20 解-导数极值恒成立
• 2008-大纲卷II文-21 解-三次函数极值与最值恒成立