2007-大纲卷I理-10 单-二项展开式通项公式常数项

本题导读

本题考查二项式定理的通项应用。通过写出含参 $n$ 的二项展开式通项，令自变量 $x$ 的总指数为 0 锁定常数项的组合数方程，进而求得正整数 $n$。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(理)） ${\left(x^2-\frac{1}{x}\right)}^n$ 的展开式中，常数项为 15，则 $n=$()

A. 3　　　　　　　B. 4　　　　　　　C. 5　　　　　　　D. 6

🔍【思路分析】

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1. 书写含参通项公式：

• ${\left(x^2-\frac{1}{x}\right)}^n$ 展开式的通项公式为 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r\cdot (x^2{)}^{n-r}\cdot {\left(-x^{-1}\right)}^r={\text{C}}_n^r\cdot (-1{)}^r\cdot x^{2n-2r-r}={\text{C}}_n^r\cdot (-1{)}^r\cdot x^{2n-3r}$。

2. 提取常数项代数约束：常数项对应的自变量总幂次必须严格等于 0，即 $2n-3r=0⟹2n=3r$。因为 $r$ 是非负整数，说明 $n$ 必须是 3 的整数倍。
3. 选项快速筛选对位：由 $n$ 是 3 的倍数可直接将备选范围缩小到 A(3) 和 D(6)。

• 若 $n=3⟹3r=6⟹r=2$，常数项为 ${\text{C}}_3^2\cdot (-1{)}^2=3\ne 15$（排除）。

• 若 $n=6⟹3r=12⟹r=4$，常数项为 ${\text{C}}_6^4\cdot (-1{)}^4={\text{C}}_6^2\cdot 1=15$（完全吻合）。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：根据二项式定理， 写出 ${\left(x^2-\frac{1}{x}\right)}^n$ 展开式的标准通项公式： $T_{r+1}={\text{C}}_n^r\cdot (x^2{)}^{n-r}\cdot {\left(-\frac{1}{x}\right)}^r(0\le r\le n,r\in \mathbf{Z})$ 将负号系数与自变量 $x$ 的底数幂次分离并进行因式合并： $T_{r+1}={\text{C}}_n^r\cdot x^{2n-2r}\cdot (-1{)}^r\cdot x^{-r}={\text{C}}_n^r\cdot (-1{)}^r\cdot x^{2n-3r}$

根据题意， 展开式中存在常数项， 意味着自变量 $x$ 的总指数必须严格为 0。 建立关于项数指标的代数方程： $2n-3r=0⟹2n=3r⟹r=\frac{2}{3}n$ 因为二项式展开式的项数指针 $r$ 必须是一个非负整数， 根据整除特征， 正整数 $n$ 必须是 3 的绝对整数倍。

观察给出的四个选项：

• A 项 $n=3$、 D 项 $n=6$ 符合 3 的倍数要求。 我们对这两项进行代入核对验证：

• 当 $n=3$ 时： $r=\frac{2}{3}\times 3=2$ 代回通项公式计算此时的常数项系数： $\text{常数项}={\text{C}}_3^2\times (-1{)}^2=3\times 1=3\ne 15(\text{排除 A})$
• 当 $n=6$ 时： $r=\frac{2}{3}\times 6=4$ 代回通项公式计算此时的常数项系数： $\text{常数项}={\text{C}}_6^4\times (-1{)}^4={\text{C}}_6^2\times 1=\frac{6\times 5}{2\times 1}=15$ 计算结果与题目给定的常数项数值 15 完美符合。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：含负号项的二项式通项书写（ $(-1{)}^r$ 提取）、常数项指数为零的整除性质约束。
2. 核心方法：通项整除数论分析法、选择题选项倒代验证法。
3. 避坑指南：

• 拆解 ${\left(-\frac{1}{x}\right)}^r$ 时，千万不要漏掉负号分量 $(-1{)}^r$。虽然本题中解出的 $r=4$ 是偶数，负号平方后变成了正 1 没受影响，但如果换成其他题目解出 $r$ 是奇数，漏掉负号会导致直接算错正负号导致失分。任何时候都要习惯性把 $(-1{)}^r$ 提到最前面作为系数的一部分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式定理、二项展开式的通项公式与常数项是全国大纲卷I(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是二项式定理、二项展开式的通项公式与常数项的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用通项公式待定系数法、选项反代排除法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2008-山东卷理-09 单-二项式定理
• 2008-江西卷文-08 单-二项式定理常数项
• 2011-福建卷理-06 单-定积分