2007-大纲卷I理-22 解-数学归纳法

本题导读

本题为2007年全国大纲卷I理科数学的压轴题。第一问通过常数配项构造等比数列求出 ${a_{n}}$ 的通项公式；第二问属于非线性分式递推数列的不等式证明，核心在于利用双曲分式函数的单调性，或采用数学归纳法配合同合放缩完成两端边界的刚性论证。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(理)）已知数列 ${a_{n}}$ 中 $a_{1} = 2, a_{n + 1} = (2 - 1) (a_{n} + 2), n = 1, 2, 3, \dots$ .

(1) 求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2) 若数列 ${b_{n}}$ 中 $b_{1} = 2, b_{n + 1} = \frac{3 b _{n} + 4}{2 b _{n} + 3}, n = 1, 2, 3, \dots$ ，证明: $2 < b_{n} \leq a_{4 n - 3}, n = 1, 2, 3, \dots$ .

🔍【思路分析】

破题导航

第一问：

递推式为 $a_{n + 1} = (2 - 1) a_{n} + 22 - 2$ 。

设 $a_{n + 1} + λ = (2 - 1) (a_{n} + λ) ⟹ (2 - 1) λ - λ = 22 - 2 ⟹ (2 - 2) λ = 22 - 2 ⟹ λ = - 2$ 。

从而可构造等比数列 ${a_{n} - 2}$ 或直接由原式变形为 $a_{n + 1} - 2 = (2 - 1) (a_{n} + 2) - 2$ 。注意，由于原式直接给出了 $(a_{n} + 2)$ 的形态，我们可以将两边同时加上 2： $a_{n + 1} + 2 = (2 - 1) (a_{n} + 2) + 2$ 并不构成直接等比。

重新化简： $a_{n + 1} - 2 = (2 - 1) a_{n} + 22 - 2 - 2 = (2 - 1) a_{n} + 22 - 4 = (2 - 1) (a_{n} - 2)$ 。由此可得 ${a_{n} - 2}$ 是以 $a_{1} - 2 = 0$ 为首项的等比数列。若首项为 0，则通项恒为 0，即 $a_{n} - 2 = 0 ⟹ a_{n} = 2$ 。

核对已知：若 $a_{n} = 2 ⟹ a_{n + 1} = (2 - 1) (2 + 2) = 42 - 4 \neq = 2$ 。

重新审视原题目的配项变形： $a_{n + 1} = (2 - 1) a_{n} + 22 - 2$ 设 $a_{n + 1} - x = (2 - 1) (a_{n} - x) ⟹ (2 - 2) x = 22 - 2 ⟹ x = \frac{2 2 - 2}{2 - 2} = \frac{2 ( 2 - 1 )}{2 ( 1 - 2 )} = - 2$ 。故构造式应为： $a_{n + 1} + 2 = (2 - 1) (a_{n} + 2)$ 。

第二问：

左端不等式 $2 < b_{n}$ ：采用数学归纳法。利用分式函数 $f (x) = \frac{3 x + 4}{2 x + 3} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2 ( 2 x + 3 )}$ 在 $x > 0$ 时单调递增，证明 $f (b_{n}) > f (2) = 2$ 。

右端不等式 $b_{n} \leq a_{4 n - 3}$ ：由第一问求出的 $a_{n}$ 恒等式代入右端。利用数学归纳法或作差放缩法证明。

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原命题双端不等式全额获证

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）将已知递推式 $a_{n + 1} = (2 - 1) (a_{n} + 2)$ 进行常数分离展开： $a_{n + 1} = (2 - 1) a_{n} + 22 - 2$ 两边同时加上 $2$ ，尝试构造等比数列： $a_{n + 1} + 2 = (2 - 1) a_{n} + 32 - 2$ 将右侧后两项提取公因式 $(2 - 1)$ ： $32 - 2 = (2 - 1) \cdot 2$ 代回得： $a_{n + 1} + 2 = (2 - 1) (a_{n} + 2)$

这表明，数列 ${a_{n} + 2}$ 是一个以 $a_{1} + 2 = 2 + 2$ 为首项，公比为 $q = 2 - 1$ 的等比数列。其通项公式为： $a_{n} + 2 = (2 + 2) \cdot (2 - 1)^{n - 1} = 2 (2 + 1) (2 - 1)^{n - 1}$ 由于 $(2 + 1) (2 - 1) = 1$ ，化简可得： $a_{n} + 2 = 2 (2 - 1)^{n - 2}$ 所以， ${a_{n}}$ 的通项公式为： $a_{n} = 2 (2 - 1)^{n - 2} - 2$

（2）证明：由（1）可知， $a_{4 n - 3} = 2 (2 - 1)^{4 n - 5} - 2$ 。下面我们用数学归纳法分两部分证明目标不等式 $2 < b_{n} \leq a_{4 n - 3}$ 对所有 $n \in N_{+}$ 恒成立。

先分析递推分式函数 $f (x) = \frac{3 x + 4}{2 x + 3}$ 的单调性： $f (x) = \frac{\frac{3}{2} ( 2 x + 3 ) - \frac{1}{2}}{2 x + 3} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2 ( 2 x + 3 )}$ 显然，当 $x > 0$ 时， $2 x + 3$ 单调递增， $\frac{1}{2 ( 2 x + 3 )}$ 单调递减，故 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上严格单调递增。

第一部分：证明 $2 < b_{n}$

当 $n = 1$ 时， $b_{1} = 2 > 2$ ，不等式成立。

假设当 $n = k$ ( $k \geq 1$ ) 时不等式成立，即 $b_{k} > 2$ 。

则当 $n = k + 1$ 时，由 $f (x)$ 的单调递增性得： $b_{k + 1} = f (b_{k}) > f (2) = \frac{3 2 + 4}{2 2 + 3} = \frac{2 ( 3 + 2 2 )}{3 + 2 2} = 2$ 即当 $n = k + 1$ 时不等式依然成立。由此可知，对任意 $n \in N_{+}$ ，均有 $2 < b_{n}$ 成立。

第二部分：证明 $b_{n} \leq a_{4 n - 3}$

当 $n = 1$ 时： $b_{1} = 2$ $a_{4 \times 1 - 3} = a_{1} = 2$ 满足 $b_{1} \leq a_{1}$ （等号成立），不等式成立。

假设当 $n = k$ 时不等式成立，即 $b_{k} \leq a_{4 k - 3}$ 。为了推进到 $k + 1$ 项，我们需建立 $b_{k + 1} - 2$ 与前项的递推放缩关系： $b_{n + 1} - 2 = \frac{3 b _{n} + 4}{2 b _{n} + 3} - 2 = \frac{( 3 - 2 2 ) b _{n} + 4 - 3 2}{2 b _{n} + 3} = \frac{( 3 - 2 2 ) ( b _{n} - 2 )}{2 b _{n} + 3}$ 由于 $b_{n} > 2 ⟹ 2 b_{n} + 3 > 22 + 3$ ，且 $3 - 22 = (2 - 1)^{2}$ ，故有放缩不等式： $b_{n + 1} - 2 < \frac{( 2 - 1 ) ^{2}}{2 2 + 3} (b_{n} - 2) = (2 - 1)^{4} (b_{n} - 2)$ 根据此递推链条，连续向下穿心放缩： $b_{k} - 2 \leq (2 - 1)^{4 (k - 1)} (b_{1} - 2) = (2 - 1)^{4 k - 4} (2 - 2)$ 由于 $2 - 2 = 2 (2 - 1)$ ，代入合并幂次： $b_{k} - 2 \leq 2 (2 - 1)^{4 k - 3}$ 而根据第一问求出的通项公式变形可知： $a_{4 k - 3} - 2 = 2 (2 - 1)^{4 k - 5} - 22$ 比较两式：由于 $4 k - 3 > 4 k - 5$ ，且 $0 < 2 - 1 < 1$ ，其高次幂反而更小，故显然有： $2 (2 - 1)^{4 k - 3} < 2 (2 - 1)^{4 k - 5} - 22$ 从而推得 $b_{k} \leq a_{4 k - 3}$ 恒成立。

综上所述，原命题双端不等式全额获证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：待定系数法构造双无理数等比数列、分式线性递推函数单调性、分式差分级数放大放缩。

核心方法：数学归纳法。

避坑指南：

第一问中解出等比数列后，化简幂次时切记利用共轭倒数关系 $(2 + 1) (2 - 1) = 1$ 进行合并，否则保留复杂的相乘形式会导致第二问无法找到项数放缩的精细跨度。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题考查构造法求数列通项公式、等比数列的通项公式，是全国大纲卷I(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。

变式思考：本题的核心步骤（待定系数构造法、不等式变形放缩法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。

知识关联：构造法求数列通项公式、等比数列的通项公式相互关联，解答中综合运用了待定系数构造法、不等式变形放缩法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

19.03 数列通项公式求法全攻略

19.02 等比数列全总结

19.05 数列放缩法路径选择与常用模型

类题演练 (Links)

2008-江西卷理-19 解-等差数列

2008-湖南卷理-18 解-三角函数

2012-广东卷理-19 解-数列求和

∑ ( Math )

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2007-大纲卷I理-22 解-数学归纳法

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