2008-江西卷理-19 解-等差数列

本题导读

本题考查等差数列与等比数列通项公式的求解以及裂项相消法在数列不等式证明中的综合应用。核心意图是利用双序列的基本量关系确立通项，再通过裂项变形转化为可消项的分式和进行放缩论证。

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(理)） 等差数列 $\{a_n\}$ 各项均为正整数，$a_1=3$，前 $n$ 项和为 $S_n$，等比数列 $\{b_n\}$ 中，$b_1=1$，且 $b_2{S}_2=64$，$\{b_n\}$ 是公比为 $8$ 的等比数列.

(1)求 $a_n$ 与 $b_n$；

(2)证明：$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\cdots +\frac{1}{S_n}<\frac{3}{4}$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：利用等比数列通项公式求出 $b_2=8$，代入 $b_2{S}_2=64$ 算出 $S_2=8$。结合等差数列前 $n$ 项和公式求得公差 $d=2$，分别写出 $a_n$ 与 $b_n$ 的通项公式。
2. 第二问：由第一问的结论计算出 $S_n=n(n+2)$。将分式 $\frac{1}{S_n}$ 拆项变形为 $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$，利用裂项相消法求出前 $n$ 项和的显式表达式，通过去除负项完成放缩证明。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

解：(1)因为 $\{b_n\}$ 是公比为 $8$ 的等比数列，且 $b_1=1$， 所以： $b_2=b_1\cdot 8=8$ 由 $b_2{S}_2=64$ 代入得： $8S_2=64⟹S_2=8$

设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。 因为 $a_1=3$，所以 $S_2=a_1+a_2=3+(3+d)=6+d$。 令 $6+d=8⟹d=2$。

故数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=a_1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1$ 数列 $\{b_n\}$ 的通项公式为： $b_n=b_1\cdot 8^{n-1}=8^{n-1}$

(2)证明：由(1)可知 $a_n=2n+1$， 其前 $n$ 项和为： $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(3+2n+1)}{2}=n(n+2)$

因此，前 $n$ 项和的倒数项可化为： $\frac{1}{S_n}=\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$

设左端和式为 $T_n$，应用裂项相消法展开得： $T_n=\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\cdots +\frac{1}{S_n}$ $=\frac{1}{2}\left[\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)\right]$

正负项成对消去后，保留前两项的正项与最后两项的负项： $T_n=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)=\frac{3}{4}-\frac{1}{2(n+1)}-\frac{1}{2(n+2)}$

因为 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，所以 $\frac{1}{2(n+1)}+\frac{1}{2(n+2)}>0$。 故： $T_n<\frac{3}{4}$ 即原不等式 $\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\cdots +\frac{1}{S_n}<\frac{3}{4}$ 成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差与等比数列基本量的联立方程求解；裂项相消法中非相邻项抵消的通用模型。
2. 核心方法：待定系数法与裂项相消法。
3. 避坑指南：在第(2)问进行分式裂项时，$\frac{1}{n(n+2)}$ 裂开后前面的平衡系数 $\frac{1}{2}$ 极其容易被粗心漏掉；在消项时要格外细心，由于跨越了两个步长，前部和尾部各需保留两项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是高考数列解答题中关于通项公式性质与分式裂项放缩相结合的经典必考大题。
2. 结论推广: 对于形如 $S_n=n(n+k)$ 的数列前 $n$ 项和，其无穷项倒数和的极限值（级数和）恒为 $\frac{1}{k}{\sum }_{i=1}^k\frac{1}{i}$，且对任意有限项 $n$ 均严格小于该极限值。本题中 $k=2$，极限值即为 $\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}$。

🔗【关联脉络】

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• 2009-安徽卷文-19 解-等差等比数列
• 2009-浙江卷文-20 解-等差数列通项等比
• 2009-福建卷文-17 解-等差等比数列