2007-大纲卷II文-21 解-圆的方程与数量积范围

本题导读

本题考查圆的标准方程。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(文)） 在直角坐标系 $xOy$ 中，以 $O$ 为圆心的圆与直线 $x-\sqrt{3}y=4$ 相切． （1）求圆 $O$ 的方程； （2）圆 $O$ 与 $x$ 轴相交于 $A$，$B$ 两点，圆内的动点 $P$ 使 $|PA|$，$|PO|$，$|PB|$ 成等比数列，求 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$ 的取值范围．

🔍【思路分析】

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1. 圆心到切线的距离即半径：$r=\frac{|0-0-4|}{\sqrt{1+3}}=2$。
2. （2）等比中项 $|PO{|}^2=|PA|\cdot |PB|$，两边平方展开，用 $r^2=x^2+y^2$ 整理得 $x^2-y^2=2$。
3. $P$ 在圆内：$x^2+y^2<4$，结合 $x^2=y^2+2$ 得 $0⩽y^2<1$。
4. $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=x^2+y^2-4=2y^2-2$，读出范围。

✅【答案】

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（1）$x^2+y^2=4$；（2）$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$ 的取值范围为 $[-2,0)$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 圆心 $O(0,0)$ 到直线 $x-\sqrt{3}y=4$ 的距离即半径： $r=\frac{|-\sqrt{3}\times 0+0-4|}{\sqrt{1+3}}=\frac{4}{2}=2,$ 故圆 $O$ 的方程为 $x^2+y^2=4$． （2） 不妨设 $A=(-2,0)$，$B=(2,0)$，圆内动点 $P=(x,y)$． 由 $|PA|$，$|PO|$，$|PB|$ 成等比数列，得 $|PO{|}^2=|PA|\cdot |PB|$，两边平方： $(x^2+y^2{)}^2=\left[(x+2{)}^2+y^2\right]\left[(x-2{)}^2+y^2\right].$ 令 $r^2=x^2+y^2$，右端 $=(r^2+4+4x)(r^2+4-4x)=(r^2+4{)}^2-16x^2$，展开整理得 $r^4=r^4+8r^2+16-16x^2⟹2x^2=r^2+4-2r^2⟹x^2-y^2=2.$ （即 $16x^2=8r^2+16$，$2x^2=r^2+2$，代入 $r^2=x^2+y^2$ 得 $x^2-y^2=2$．） $P$ 在圆内：$r^2<4$；把 $r^2=x^2+y^2=2+2y^2$ 代入得 $0⩽y^2<1$． 而 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=(-2-x,-y)\cdot (2-x,-y)=x^2+y^2-4=r^2-4=2y^2-2.$ 由 $0⩽y^2<1$ 得 $-2⩽2y^2-2<0$，故 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$ 的取值范围为 $[-2,0)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的方程与数量积范围

核心方法：点线距定半径，等比中项列式，配方化简求范围

避坑指南：P 在圆内是开条件，右端点 0 取不到，范围用半开区间

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆的方程与点线距离

结论推广：点到直线距离即切线半径

方法推广：几何条件列方程后用代数方法求范围

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练(Links)

• 2015-新课标I卷文-20 解-直线与圆
• 2009-重庆卷文-01 单-圆的方程