2007-大纲卷II理-01 单-特殊角三角函数值

本题导读

本题考查三角函数的诱导公式与特殊角求值。通过将第三象限的钝角 $210^{\circ }$ 拆解为 $180^{\circ }+30^{\circ }$，利用“公式三”将其转化为第一象限锐角正弦值直接求解。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(理)） $\sin 210^{\circ }=$ ()

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　B. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　D. $-\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 角度象限分析： $210^{\circ }$ 位于第三象限，根据三角函数符号规律，第三象限的正弦值为负。

2. 应用诱导公式：利用 $\sin (180^{\circ }+\alpha )=-\sin \alpha$，将 $210^{\circ }$ 拆写为 $180^{\circ }+30^{\circ }$ 进行降角转化。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：根据三角函数的诱导公式 $\sin (180^{\circ }+\alpha )=-\sin \alpha$，将 $210^{\circ }$ 进行代数拆分： $\sin 210^{\circ }=\sin (180^{\circ }+30^{\circ })=-\sin 30^{\circ }$

代入特殊锐角的正弦值 $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ 得： $\sin 210^{\circ }=-\frac{1}{2}$

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：诱导公式 $\sin (180^{\circ }+\alpha )=-\sin \alpha$ 的精确应用。
2. 核心方法：终边象限符号判定法。
3. 避坑指南：

• 考场上容易将 $\sin 30^{\circ }$ 与 $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的数值记混而误选 B。在草稿纸上落笔时需沉着确认数值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 改编自人教版高中数学必修四第一章“三角函数的诱导公式”课后基础练习题。

2. 结论推广: 对于任何形如 $180^{\circ }\cdot k+\alpha$ 的三角函数求值，一律套用“奇变偶不变，符号看象限”的统一口诀直出结果。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)