2007-大纲卷II理-10 单-分步计数乘法原理

本题导读

本题考查排列组合在实际名额选派模型中的应用。需要分步处理：第一步选出具体参加活动的同学，第二步根据天数名额要求进行位置分配。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(理)） 从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有 2 人参加，星期六、星期日各有 1 人参加，则不同的选派方法共有()

A. 40 种　　　　B. 60 种　　　　C. 100 种　　　　D. 120 种

🔍【思路分析】

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1. 第一步（安排星期五）：从 5 位同学中任意选出 2 人在星期五参加，方案数为 ${\text{C}}_5^2=10$ 种。

2. 第二步（安排星期六）：从剩下的 $5-2=3$ 位同学中选出 1 人在星期六参加，方案数为 ${\text{C}}_3^1=3$ 种。

3. 第三步（安排星期日）：从最后剩下的 $3-1=2$ 位同学中选出 1 人在星期日参加，方案数为 ${\text{C}}_2^1=2$ 种。

4. 求总数：根据分步乘法计数原理，将各步数相乘。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：本题按照时间顺序列序，采用分步计数乘法原理进行求解：

• 第一步：选派同学参加星期五的活动 由于星期五要求有 2 人参加，需要从现有的 5 位同学中任意挑出 2 人，对应的组合数为： $N_1={\text{C}}_5^2=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10\text{ 种}$

• 第二步：选派同学参加星期六的活动 当星期五的人选确定后，还剩下 $5-2=3$ 位同学。星期六要求 1 人参加，从中任选 1 人，对应的组合数为： $N_2={\text{C}}_3^1=3\text{ 种}$

• 第三步：选派同学参加星期日的活动 此时还剩下 $3-1=2$ 位同学。星期日要求 1 人参加，从中任选 1 人，对应的组合数为： $N_3={\text{C}}_2^1=2\text{ 种}$

根据分步乘法计数原理，整个选派过程的不同方案总数为： $N=N_1\times N_2\times N_3=10\times 3\times 2=60\text{ 种}$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分步乘法计数原理、组合数公式。
2. 核心方法：分步有序分流法。
3. 避坑指南：

• 也可以先从 5 人中选 4 人（ ${\text{C}}_5^4=5$ 种），再把 4 人分入星期五（2人）、六（1人）、日（1人）的格子中（ ${\text{C}}_4^2\cdot {\text{A}}_2^2=6\times 2=12$ 种），总数同样为 $5\times 12=60$ 种。注意不要在安排周六周日时漏掉排列顺序。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：排列与组合、分步计数乘法原理是大纲卷II(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是排列与组合、分步计数乘法原理的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用先选后排分步法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷理-12 单-排列组合
• 2008-湖北卷文-09 单-至少一名女生组队
• 2008-湖南卷文-08 单-至少一个选中计数