2008-湖南卷文-08 单-至少一个选中计数

本题导读

${\mathrm{C}}_4^2{\mathrm{C}}_6^2-{\mathrm{C}}_3^1{\mathrm{C}}_5^1=90-30=60$.

📌【题干】

Question

（2008年湖南卷(文)） 某市拟从 $4$ 个重点项目和 $6$ 个一般项目中各选 $2$ 个项目作为本年度启动的项目，则重点项目 $A$ 和一般项目 $B$ 至少有一个被选中的不同选法种数是()

A. $15$　　　　　　　B. $45$　　　　　　　C. $60$　　　　　　　D. $75$

🔍【思路分析】

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“至少一个被选中”的对立是”$A$、$B$ 都落选”：重点从其余 $3$ 个选 $2$，一般从其余 $5$ 个选 $2$.

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

不加限制时，选法总数为 ${\mathrm{C}}_4^2\times {\mathrm{C}}_6^2=6\times 15=90$. $A$、$B$ 都不被选中：重点项目从其余 $3$ 个中选 $2$ 个（${\mathrm{C}}_3^2=3$），一般项目从其余 $5$ 个中选 $2$ 个（${\mathrm{C}}_5^2=10$），共 $3\times 10=30$ 种. 故至少一个被选中的选法为 $90-30=60$ 种，选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：排列组合的间接法

核心方法：总数减对立面：“至少一个被选中”减去”$A$、$B$ 都落选”

避坑指南：$A$ 落选后重点项目从剩下 $3$ 个里选 $2$（${\mathrm{C}}_3^2=3$），一般项目从 $5$ 个里选 $2$（${\mathrm{C}}_5^2=10$），两个乘积别写成加法

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：排列组合”至少”模型的计数题

结论推广：间接法：总数 − 对立面；分类法要拆”含A不含B、含B不含A、都含”三块

方法推广：“各选 2 个”是组合不是排列；对立面”都不选”把两个限制同时去掉，计算量骤减

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练 (Links)

• 2009-湖南卷文-05 单-分类计数
• 2010-湖北卷文-06 单-分步计数原理
• 2009-湖北卷文-04 单-分步计数
• 2011-湖南卷文-16 填-新定义函数计数