2007-大纲卷II理-18 解-超几何分布分布列

本题导读

本题考查概率模型的判定、对立事件的应用以及离散型随机变量分布列的求解。第一问通过有放回抽样的独立试验性质，利用对立事件方程求出单次抽样的基础概率 $p$；第二问转换为无放回抽样模型，利用超几何分布计算公式写出随机变量 $\xi$ 的概率分布列。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(理)） 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取 1 件，假设事件 $A$: “取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率 $P(A)=0.96$.

(1) 求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 $p$；

(2) 若该批产品共有 100 件，从中任意抽取 2 件， $\xi$ 表示取出的 2 件产品中二等品的件数，求 $\xi$ 的分布列.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：

• 有放回抽取 2 次，属于独立重复试验模型。
• 事件 $A$ “至多有 1 件是二等品”的对立事件 $\overline{A}$ 为“2件产品全都是二等品”。
• 建立对立概率方程： $P(\overline{A})=1-P(A)=1-0.96=0.04$。
• 依据独立事件乘法公式： $p\times p=0.04⟹p^2=0.04$，解出单次概率 $p$。

2. 第二问：

• 首先利用第一问的概率 $p=0.2$，计算 100 件产品中二等品的总件数： $100\times 0.2=20$ 件，则非二等品有 $100-20=80$ 件。

• “任意抽取 2 件”属于不放回抽样，随机变量 $\xi$ 服从超几何分布。

• $\xi$ 的可能取值为 0，1，2。分别运用组合数公式 $P(\xi =k)=\frac{{\text{C}}_{20}^k\cdot {\text{C}}_{80}^{2-k}}{{\text{C}}_{100}^2}$ 算出对应概率值，列出表格。

✅【答案】

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$p=0.2；P(𝜉=0)=316495，P(𝜉=1)=160495，P(𝜉=2)=19495.$

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）根据题意，“有放回地抽取产品二次”意味着每次抽取都是相互独立的，且单次抽到二等品的概率均保持为 $p$ 不变。 事件 $A$ 为“取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”，其对立事件 $\overline{A}$ 为：“取出的 2 件产品全都是二等品”。

根据对立事件的概率性质，可得： $P(\overline{A})=1-P(A)=1-0.96=0.04$ 由于两次抽取相互独立，两件全为二等品的概率为 $p\cdot p=p^2$，建立方程： $p^2=0.04$ 因为概率值 $p$ 必须满足非负红线约束（ $0\le p\le 1$），开平方取正根解得： $p=0.2$

所以，从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 $p$ 为 0.2。

（2）若该批产品共有 100 件，由（1）知任取一件是二等品的概率为 0.2， 由此可知该批产品中二等品的实际件数为： $100\times 0.2=20\text{ 件}$ 非二等品（一等品或其他）的实际件数为： $100-20=80\text{ 件}$

从中不放回地随机任意抽取 2 件，取出的二等品件数 $\xi$ 的所有可能取值为：0，1，2。 该随机变量服从超几何分布，其各取值的具体概率利用组合数计算如下：

• 当 $\xi =0$ 时，即抽取的 2 件全部为非二等品： $P(\xi =0)=\frac{{\text{C}}_{20}^0\cdot {\text{C}}_{80}^2}{{\text{C}}_{100}^2}=\frac{1\times \frac{80\times 79}{2\times 1}}{\frac{100\times 99}{2\times 1}}=\frac{80\times 79}{100\times 99}=\frac{4\times 79}{5\times 99}=\frac{316}{495}$

• 当 $\xi =1$ 时，即抽取的 2 件中包含 1 件二等品，1 件非二等品： $P(\xi =1)=\frac{{\text{C}}_{20}^1\cdot {\text{C}}_{80}^1}{{\text{C}}_{100}^2}=\frac{20\times 80}{\frac{100\times 99}{2\times 1}}=\frac{1600}{4950}=\frac{160}{495}$

• 当 $\xi =2$ 时，即抽取的 2 件全部为二等品： $P(\xi =2)=\frac{{\text{C}}_{20}^2\cdot {\text{C}}_{80}^0}{{\text{C}}_{100}^2}=\frac{\frac{20\times 19}{2\times 1}\times 1}{\frac{100\times 99}{2\times 1}}=\frac{20\times 19}{100\times 99}=\frac{19}{5\times 99}=\frac{19}{495}$

(全概率和校验： $\frac{316+160+19}{495}=\frac{495}{495}=1.0$，概率闭环满足)

由此归纳，随机变量 $\xi$ 的概率分布列为：

$\xi$	0	1	2
$P$	$\frac{316}{495}$	$\frac{160}{495}$	$\frac{19}{495}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：“至多、至少”条件向对立事件化简（ $1-p^2$）、有放回（独立重复/二项分布）与无放回（超几何分布）概率模型的转化。
2. 核心方法：对立事件法、超几何分布通用模型法。
3. 避坑指南：

• 第二问计算组合数分式时，建议保留统一的分母（如 495）不要单独把某一项约简到最简分数。这样不仅方便最后进行全概率求和检查（看分子加起来是否等于分母），同时排版也更加工整利落，可有效避免因低级计算失误导致的失分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查独立重复试验与二项分布、对立事件概率计算，是大纲卷II(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（正难则反法（对立事件）、组合数分析法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：独立重复试验与二项分布、对立事件概率计算相互关联，解答中综合运用了正难则反法（对立事件）、组合数分析法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2008-四川卷文-18 解-独立事件与二项分布
• 2008-四川卷理-18 解-二项分布
• 2008-大纲卷II文-19 解-射击独立事件概率