2008-四川卷理-18 解-二项分布

本题导读

本题考查相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(理)） 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5, 购买乙种商品的概率为 0.6, 且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立, 各顾客之间购买商品也是相互独立的.

(1) 求进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率;

(2) 求进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率;

(3) 记 $\xi$ 表示进入商场的 3位 顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数, 求 $\xi$ 的分布列及期望.

🔍【思路分析】

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1. 第一问“购买甲、乙两种商品中的一种”指恰好购买一种，分为“买甲不买乙”与“买乙不买甲”两类互斥事件，利用独立事件概率公式相加。
2. 第二问“至少购买一种”采用对立面转化，即用 1 减去“两种都不购买”的概率。
3. 第三问由于各顾客之间相互独立，符合 3 次独立重复试验，因此 $\xi$ 服从二项分布 $B(3,p)$，其中 $p$ 为第二问所得概率，进而求出分布列与期望。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解：记事件 $A$ 为“顾客购买甲种商品”，则 $P(A)=0.5,P(\bar{A})=1-0.5=0.5$； 记事件 $B$ 为“顾客购买乙种商品”，则 $P(B)=0.6,P(\bar{B})=1-0.6=0.4$。

(1) 设进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种为事件 $C$，则： $P(C)=P(A\bar{B})+P(\bar{A}B)=P(A)P(\bar{B})+P(\bar{A})P(B)$ $=0.5\times 0.4+0.5\times 0.6=0.2+0.3=0.5$ 即购买甲、乙两种商品中的一种的概率为 0.5。

(2) 设进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种为事件 $D$，其对立事件 $\bar{D}$ 为“两种商品都不购买”。 $P(\bar{D})=P(\bar{A}\bar{B})=P(\bar{A})P(\bar{B})=0.5\times 0.4=0.2$ 所以 $P(D)=1-P(\bar{D})=1-0.2=0.8$ 即至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率为 0.8。

(3) 由题意知，每位顾客至少购买一种商品的概率均为 0.8，且各顾客之间购买与否相互独立。 因此 $\xi \sim B(3,0.8)$， $\xi$ 的可能取值为 0, 1, 2, 3。 $P(\xi =0)={\text{C}}_3^0\times 0.8^0\times 0.2^3=0.008$ $P(\xi =1)={\text{C}}_3^1\times 0.8^1\times 0.2^2=3\times 0.8\times 0.04=0.096$ $P(\xi =2)={\text{C}}_3^2\times 0.8^2\times 0.2^1=3\times 0.64\times 0.2=0.384$ $P(\xi =3)={\text{C}}_3^3\times 0.8^3\times 0.2^0=0.512$

所以 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	0	1	2	3
$P$	0.008	0.096	0.384	0.512

$\xi$ 的数学期望为： $E(\xi )=np=3\times 0.8=2.4$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：互斥事件、独立事件及二项分布模型的概率综合计算。
2. 核心方法：

• 恰好型问题利用分类讨论法。
• 至少型问题利用正难则反（对立事件法）。

3. 避坑指南：第 (1) 问中“中的一种”是指“恰好一种”，不能等同于“至少一种”；在列分布列时，算完各分子概率后应自检代数和是否为 1。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版选修2-3中概率与统计大章中独立性检验与二项分布的应用案例，属于高考常规必考题型。
2. 结论推广：若某事件在单次试验中发生的概率为 $p$，则在 $n$ 次独立重复试验中该事件发生 $k$ 次的概率满足 $P(X=k)={\text{C}}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$，其期望值恒等于 $np$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-11 填-组合概率对立事件
• 2009-北京卷文-17 解-独立事件概率
• 2009-大纲卷I文-20 解-围棋连胜概率