2007-大纲卷II理-19 解-二面角

本题导读

本题考查线面平行的判定与二面角的求解。第一问通过取中点构建平行四边形，利用线线平行推导线面平行；第二问利用正方形和垂直棱的特质建立空间直角坐标系，利用平面法向量的夹角计算二面角的大小。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(理)） 如图，在四棱锥 $S-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为正方形，侧棱 $SD\perp$ 底面 $ABCD$，$E、F$ 分别是 $AB、SC$ 的中点.

(1) 求证: $EF//$ 平面 $SAD$；

(2) 设 $SD=2CD$，求二面角 $A-EF-D$ 的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：

• 取 $SD$ 的中点 $G$，连接 $FG,AG$。
• 在 $△SDC$ 中， $F$ 是 $SC$ 的中点， $G$ 是 $SD$ 的中点，由中位线定理得 $FG//CD$ 且 $FG=\frac{1}{2}CD$。
• 底面 $ABCD$ 为正方形， $E$ 是 $AB$ 的中点，故 $AE//CD$ 且 $AE=\frac{1}{2}CD$。
• 从而有 $FG//AE$ 且 $FG=AE$，说明四边形 $AEFG$ 为平行四边形 $⟹EF//AG$。
• 由线面平行判定定理得证。

2. 第二问：

• 以 $D$ 为坐标原点，射线 $DA,DC,DS$ 的方向分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。

• 设 $CD=1$，则 $SD=2$。写出各顶点坐标，求出 $\overrightarrow{EF}$。

• 分别求解平面 $AEF$ 与平面 $DEF$ 的法向量，利用点积公式计算二面角的余弦值。

✅【答案】

点击查看答案

$arctan\surd 2.$

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）证明：取侧棱 $SD$ 的中点 $G$，连接 $FG$ 与 $AG$。

在 $△SDC$ 中，因为 $F$ 为 $SC$ 的中点， $G$ 为 $SD$ 的中点， 根据三角形中位线定理，可得： $FG//CD\text{且}FG=\frac{1}{2}CD$ 因为底面 $ABCD$ 是正方形，且 $E$ 是 $AB$ 的中点，所以： $AE//CD\text{且}AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD$ 从而有： $FG//AE\text{且}FG=AE$ 根据平行四边形的判定定理，四边形 $AEFG$ 是平面内的平行四边形。 所以： $EF//AG$ 因为 $AG\subset \text{平面 }SAD$，且 $EF\not\subset \text{平面 }SAD$， 根据线面平行的判定定理，可得： $EF//\text{平面 }SAD$

（2）解：因为底面 $ABCD$ 为正方形，所以 $DA\perp DC$。又侧棱 $SD\perp$ 底面 $ABCD$，故 $SD\perp DA,SD\perp DC$。 以 $D$ 为坐标原点，射线 $DA,DC,DS$ 的方向分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴的正方向，建立空间直角坐标系 $D-xyz$。

设正方形边长 $CD=1$，则根据已知条件 $SD=2CD=2$。 相关关键顶点的直角坐标分别为： $D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),S(0,0,2)$ 因为 $E,F$ 分别是 $AB,SC$ 的中点，由中点坐标公式求得： $E\left(1,\frac{1}{2},0\right),F\left(0,\frac{1}{2},1\right)$

计算各相关向量的坐标： $\overrightarrow{DE}=\left(1,\frac{1}{2},0\right),\overrightarrow{DF}=\left(0,\frac{1}{2},1\right)$ $\overrightarrow{AE}=\left(0,\frac{1}{2},0\right),\overrightarrow{AF}=\left(-1,\frac{1}{2},1\right)$

• 第一步：求解平面 $DEF$ 的法向量 ${\vec{n}}_1=(x_1,y_1,z_1)$ $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{DE}=x_1+\frac{1}{2}{y}_1=0\\ {\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{DF}=\frac{1}{2}{y}_1+z_1=0\end{array}$ 令 $y_1=-2$，解得 $x_1=1,z_1=1$。 故平面 $DEF$ 的一个法向量为： ${\vec{n}}_1=(1,-2,1)$。

• 第二步：求解平面 $AEF$ 的法向量 ${\vec{n}}_2=(x_2,y_2,z_2)$ $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}{y}_2=0⟹y_2=0\\ {\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{AF}=-x_2+\frac{1}{2}{y}_2+z_2=0⟹-x_2+z_2=0\end{array}$ 令 $x_2=1$，解得 $z_2=1$。 故平面 $AEF$ 的一个法向量为： ${\vec{n}}_2=(1,0,1)$。

• 第三步：计算两面法向量的夹角余弦值 $\cos ⟨{\vec{n}}_1,{\vec{n}}_2⟩=\frac{{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2}{|{\vec{n}}_1|\cdot |{\vec{n}}_2|}=\frac{1\times 1+(-2)\times 0+1\times 1}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+1^2}\cdot \sqrt{1^2+0^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{2}}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

观察图形可知，二面角 $A-EF-D$ 为钝二面角， 所以其余弦值为负： $\cos \theta =-\frac{\sqrt{3}}{3}$

故二面角 $A-EF-D$ 的大小为 $\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间中位线平行平移转化、直角坐标建系与法向量公式 $\cos \theta =\frac{{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}$。
2. 核心方法：空间向量法。
3. 避坑指南：

• 最终确定二面角大小时，必须结合三维几何图形肉眼判定其是锐角还是钝角。法向量夹角公式计算出的是绝对值方向，由图可见平面 $AEF$ 与平面 $DEF$ 张开呈钝角角域，故最终结果需取负值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查线面平行的判定定理、空间直角坐标系的构建，是大纲卷II(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（几何中点转化法、空间向量坐标法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：线面平行的判定定理、空间直角坐标系的构建相互关联，解答中综合运用了几何中点转化法、空间向量坐标法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-20 解-线面平行二面角
• 2012-浙江卷理-20 解-线面平行与二面角
• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行