2007-天津卷文-02 单-线性规划最值

本题导读

本题考查线性规划求最值，以及可行域的顶点。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(文)） 设变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y⩾-1,\\ x+y⩽4,\\ y⩾2,\end{array}$ 则目标函数 $z=2x+4y$ 的最大值为 ()

A. $10$　　　　　　　B. $12$　　　　　　　C. $13$　　　　　　　D. $14$

🔍【思路分析】

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1. 约束即 $y-1⩽x⩽4-y$ 且 $y⩾2$。
2. 三边界两两相交得顶点：$(1,2)$、$(2,2)$、$\left(\frac{3}{2},\frac{5}{2}\right)$。
3. 线性目标在顶点处取最值，逐一代入。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

约束条件等价于 $y-1⩽x⩽4-y$，且 $y⩾2$． 三条直线 $x-y+1=0$、$x+y-4=0$、$y=2$ 两两相交，得可行域顶点 $(1,2),(2,2),\left(\frac{3}{2},\frac{5}{2}\right).$ 直线 $x+y=4$ 与 $y-1=x$ 的交点：$x=y-1$ 代入得 $2y-1=4$，$y=\frac{5}{2}$，$x=\frac{3}{2}$． 在这三个顶点处，$z=2x+4y$ 的值分别为 $10$、$12$、$2\times \frac{3}{2}+4\times \frac{5}{2}=3+10=13$． 故 $z$ 的最大值为 $13$，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划最值

核心方法：可行域顶点代入目标函数

避坑指南：顶点 (3/2,5/2) 是斜线交点，勿漏；最值必在顶点取得

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划的图解法

结论推广：线性目标函数在凸多边形顶点处取最值

方法推广：画准三条边界线是第一要务

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练(Links)

• 2008-天津卷文-02 单-线性规划最大值
• 2008-北京卷文-06 单-线性规划最小值