2007-山东卷文-19 解-线性规划实际问题

本题导读

本题考查线性规划。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(文)） 本公司计划 $2008$ 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 $300$ 分钟的广告，广告总费用不超过 $9$ 万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为 $500$ 元/分钟和 $200$ 元/分钟．规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为 $0.3$ 万元和 $0.2$ 万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

🔍【思路分析】

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1. 设甲、乙各 $x$、$y$ 分钟：$x+y⩽300$；费用 $0.05x+0.02y⩽9$（万元）；$x,y⩾0$。
2. 目标 $R=0.3x+0.2y$。
3. 顶点：$(0,0),(300,0),(180,0),(100,200)$；联立两边界得 $(100,200)$。
4. $R(100,200)=70$ 最大。

✅【答案】

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甲台 $100$ 分钟、乙台 $200$ 分钟，最大收益 $70$ 万元

✍【详细解析】

Abstract

设在甲、乙两个电视台分别投放广告 $x$ 分钟、$y$ 分钟，则 $x⩾0$，$y⩾0$，费用单位统一为万元后，约束条件为 $\{\begin{array}{l}x+y⩽300,\\ 0.05x+0.02y⩽9.\end{array}$ 公司的收益为 $R=0.3x+0.2y$．可行域的顶点为 $(0,0)$，$(0,300)$，$(180,0)$ 以及两条约束边界的交点． 联立 $x+y=300$ 与 $0.05x+0.02y=9$，得交点 $(100,200)$． 分别计算各顶点的收益：$R(0,0)=0$，$R(0,300)=60$，$R(180,0)=54$，$R(100,200)=70$． 因此，当 $x=100$，$y=200$ 时收益最大，最大收益为 $70$ 万元． 答：该公司在甲电视台做 $100$ 分钟广告、在乙电视台做 $200$ 分钟广告，收益最大，最大收益为 $70$ 万元．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划实际问题

核心方法：费用统一单位（元→万元）列约束；目标在顶点取值

避坑指南：500 元/分钟 = 0.05 万元/分钟，单位不统一必错；顶点要完整枚举

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划实际应用（广告分配），2007 经典应用题（同年大纲卷同型）

结论推广：两约束 + 非负条件的四顶点枚举

方法推广：线性规划应用题：设变量 → 统一单位列约束 → 画可行域 → 顶点比较

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练(Links)

• 2007-天津卷文-02 单-线性规划最值
• 2007-浙江卷文-14 填-线性规划最小值
• 2007-福建卷文-14 填-线性规划取值范围
• 2008-大纲卷I文-13 填-线性规划最值