2007-天津卷文-09 单-绝对值三角函数单调性

本题导读

本题考查含绝对值的三角函数，以及复合函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(文)） 设函数 $f(x)=\left|\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\right|$（$x\in \mathbf{R}$），则 $f(x)$ ()

A. 在区间 $\left[\frac{2\pi }{3},\frac{7\pi }{6}\right]$ 上是增函数　　B. 在区间 $\left[-\pi ,-\frac{\pi }{2}\right]$ 上是减函数

C. 在区间 $\left[\frac{\pi }{8},\frac{\pi }{4}\right]$ 上是增函数　　　　D. 在区间 $\left[\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6}\right]$ 上是减函数

🔍【思路分析】

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1. 令 $u=x+\frac{\pi }{3}$，逐项把 x 区间换成 u 区间。
2. $|\sin u|$ 在 $u\in [\pi ,\frac{3\pi }{2}]$（sin 负且减小）时 $f=-\sin u$ 递增。
3. 其余区间逐一核对增减。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

令 $u=x+\frac{\pi }{3}$，则 $f(x)=|\sin u|$． A：$x\in \left[\frac{2\pi }{3},\frac{7\pi }{6}\right]$ 时 $u\in \left[\pi ,\frac{3\pi }{2}\right]$，此区间上 $\sin u⩽0$ 且递减，$f(x)=-\sin u$，其导数 $f^{\prime }(x)=-\cos u$（$\cos u⩽0$）$⩾0$，故 $f$ 递增，A 正确． B：$x\in \left[-\pi ,-\frac{\pi }{2}\right]$ 时 $u\in \left[-\frac{2\pi }{3},-\frac{\pi }{6}\right]$，$\sin u<0$，$f=-\sin u$ 在 $\left[-\frac{\pi }{2},-\frac{\pi }{6}\right]$ 段递减、在 $\left[-\frac{2\pi }{3},-\frac{\pi }{2}\right]$ 段递增，并非单调递减，B 错． C：$x\in \left[\frac{\pi }{8},\frac{\pi }{4}\right]$ 时 $u\in \left[\frac{11\pi }{24},\frac{7\pi }{12}\right]\subset \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，$f=\sin u$ 递增？注意 $|\sin u|=\sin u$ 递增——但需整个区间 $\sin u⩾0$ 且单调：$\sin u$ 在该区间确实递增，C 应也增？细看：$\frac{7\pi }{12}>\frac{\pi }{2}$？$\frac{7\pi }{12}=105^{\circ }>\frac{\pi }{2}$，跨过了最大值点 $u=\frac{\pi }{2}$，故先增后减，C 错． D：$x\in \left[\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6}\right]$ 时 $u\in \left[\frac{2\pi }{3},\frac{7\pi }{6}\right]$，跨过 $u=\pi$（零点），$\sin u>0$ 段 $f=\sin u$ 递减，$\sin u<0$ 段 $f=-\sin u$ 递增，D 错． 故选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值三角函数单调性

核心方法：换元分段去绝对值

避坑指南：|sin u| 在 [π,3π/2] 递增（−sin u 增）；区间跨零点或峰点时必不单调

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复合函数单调性

结论推广：f=|sin u| 的增区间为 [kπ+\frac{\pi}{2}, kπ+\pi] 与 [kπ+\pi, kπ+\frac{3\pi}{2}] 交替

方法推广：先整体换元，再核对是否跨过关键点

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练(Links)

• 2007-大纲卷II文-03 单-含绝对值三角函数图象
• 2008-江西卷文-10 单-含绝对值三角图象