2007-福建卷文-05 单-正弦型对称性

本题导读

本题考查正弦型函数的对称性。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(文)） 函数 $f(x)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ 的图象 ()

A. 关于点 $\left(\frac{\pi }{3},0\right)$ 对称　　　　　　　　　　B. 关于直线 $x=\frac{\pi }{4}$ 对称

C. 关于点 $\left(\frac{\pi }{4},0\right)$ 对称　　　　　　　　　　D. 关于直线 $x=\frac{\pi }{3}$ 对称

🔍【思路分析】

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1. 对称中心 $(x_0,0)$ 需 $2x_0+\frac{\pi }{3}=k\pi$。
2. 对称轴 $x_0$ 需 $2x_0+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k\pi$。
3. 逐项检验四个选项。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

（A）$x=\frac{\pi }{3}$ 时 $2x+\frac{\pi }{3}=\pi$，$\sin \pi =0$，故图象关于点 $\left(\frac{\pi }{3},0\right)$ 对称，成立． （B）$x=\frac{\pi }{4}$ 时 $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}$，$\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$，不取最值，不关于该直线对称． （C）$x=\frac{\pi }{4}$ 时函数值 $\frac{1}{2}\ne 0$，不是对称中心． （D）$x=\frac{\pi }{3}$ 时函数值 $0$，是对称中心而非对称轴． 故选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦型对称性

核心方法：对称中心代入函数值为 0；对称轴代入函数值取 $\pm 1$

避坑指南：正弦型函数对称性检验法：令相位 $=k\pi$ 得中心、$=\frac{\pi }{2}+k\pi$ 得轴；注意中心纵坐标恒为 0

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦型函数对称性的选项检验题，与 2007 各省卷互见

结论推广：一般地 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的对称中心横坐标满足 $\omega x+\phi =k\pi$

方法推广：多结论判断题用代入检验法逐项排除，比整体推导快

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

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类题演练(Links)

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• 2007-天津卷文-09 单-绝对值三角函数单调性
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