2007-天津卷文-10 单-奇函数与恒成立

本题导读

本题考查奇函数的解析式，以及函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(文)） 设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，且当 $x⩾0$ 时，$f(x)=x^2$．若对任意的 $x\in [t,t+2]$，不等式 $f(x+t)⩾2f(x)$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围是 ()

A. $[\sqrt{2},+\infty )$　　　　B. $[2,+\infty )$　　　　C. $(0,2]$　　　　D. $[-\sqrt{2},-1]\cup [\sqrt{2},\sqrt{3}]$

🔍【思路分析】

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1. 由奇性补全：$f(x)=x^2$（$x⩾0$），$f(x)=-x^2$（$x<0$），即 $f(x)=x|x|$。
2. $f$ 在 $\mathbf{R}$ 上严格增，且 $2f(x)=f(\sqrt{2}x)$（对一切 x 验证）。
3. 不等式 $⟺x+t⩾\sqrt{2}x⟺(\sqrt{2}-1)x⩽t$；对 $x\in [t,t+2]$ 恒成立只需在最大点 $x=t+2$ 成立。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由奇函数性质，$x<0$ 时 $f(x)=-f(-x)=-x^2$，故 $f(x)=x|x|$，在 $\mathbf{R}$ 上严格递增． 又对任意 $x$：$x⩾0$ 时 $f(\sqrt{2}x)=2x^2=2f(x)$；$x<0$ 时 $\sqrt{2}x<0$，$f(\sqrt{2}x)=-2x^2=2f(x)$，故恒有 $2f(x)=f(\sqrt{2}x).$ 于是 $f(x+t)⩾2f(x)$ 等价于 $f(x+t)⩾f(\sqrt{2}x)$，由单调性等价于 $x+t⩾\sqrt{2}x⟺(\sqrt{2}-1)x⩽t.$ 要对一切 $x\in [t,t+2]$ 成立，只需在最大值点 $x=t+2$ 处成立： $(\sqrt{2}-1)(t+2)⩽t⟹\sqrt{2}t+2\sqrt{2}-t-2⩽t⟹2\sqrt{2}-2⩽(2-\sqrt{2})t⟹t⩾\sqrt{2},$ 故 $t$ 的取值范围是 $[\sqrt{2},+\infty )$，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数与恒成立

核心方法：补全解析式，2f(x)=f(√2x) 转化

避坑指南：x<0 时 f(x)=−x² 别忘；恒成立只需在 x=t+2 处成立（单调性）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：奇函数与单调性综合

结论推广：x|x| 型函数在 R 上严格增

方法推广：“对任意 x∈[a,b] 恒成立”用单调性化为端点条件

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练(Links)

• 2008-北京卷文-17 解-奇函数定参与三次函数单调
• 2009-山东卷文-12 单-奇函数周期