2009-山东卷文-12 单-奇函数周期

本题导读

考查抽象函数。周期 $8$：$f(-25)=-f(1)$，$f(11)=f(1)$，$f(80)=f(0)=0$，由 $[0,2]$ 增得 $f(1)>0$，选 D。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(文)） 已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数 $f(x)$ 满足 $f(x-4)=-f(x)$，且在区间 $[0,2]$ 上是增函数，则 ()

A. $f(-25)<f(11)<f(80)$　　　　　　　　　B. $f(80)<f(11)<f(-25)$

C. $f(11)<f(80)<f(-25)$　　　　　　　　　D. $f(-25)<f(80)<f(11)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $f(x-4)=-f(x)$ 得 $f(x-8)=f(x)$，周期为 $8$。
2. $f(-25)=f(-1)=-f(1)$；$f(11)=f(3)$，而 $f(3)=f(-1+4)=-f(-1)=f(1)$；$f(80)=f(0)=0$。
3. $f$ 在 $[0,2]$ 增且为奇函数，$f(0)=0$，故 $f(1)>0$。
4. 三值比较：$-f(1)<0<f(1)$，即 $f(-25)<f(80)<f(11)$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由 $f(x-4)=-f(x)$，得 $f(x-8)=f(x)$，所以 $f(x)$ 是周期为 $8$ 的周期函数。 $f(-25)=f(-25+24)=f(-1)=-f(1)$。 $f(11)=f(11-8)=f(3)$；在 $f(x-4)=-f(x)$ 中取 $x=3$，得 $f(-1)=-f(3)$，又 $f$ 为奇函数，$f(-1)=-f(1)$，故 $f(3)=f(1)$。 $f(80)=f(0)=0$。 因为 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上递增且是奇函数，$f(0)=0$，所以 $f(1)>0$。 故 $f(-25)=-f(1)<f(80)=0<f(11)=f(1)$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抽象函数的奇偶性与周期性

核心方法：$f(x-4)=-f(x)$ 连用两次得周期 $8$；各值归位到 $[0,2]$ 用单调性比大小

避坑指南：$f(-25)=f(-1)=-f(1)$；$f(3)=-f(-1)=f(1)$；$f(80)=f(0)=0$；$f$ 在 $[0,2]$ 增且为奇函数 $\Rightarrow f(1)>0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源："$f(x-T)=-f(x)$"型的对称、周期连锁：连续应用两次出现周期 $2T$。

结论推广：比较抽象函数值，把自变量全部”归位”到单调区间或特殊点（$0$）上。

方法推广：奇函数在 $0$ 处有定义时 $f(0)=0$，这是一个现成的比较基准。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-13 填-奇函数与等差中项
• 2011-大纲卷文-10 单-奇函数周期求值
• 2011-安徽卷文-11 填-奇函数求值
• 2009-江西卷文-05 单-偶函数与周期