2007-天津卷文-14 填-两圆公共弦

本题导读

本题考查圆与圆的位置关系，以及两圆的公共弦。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(文)） 已知两圆 $x^2+y^2=10$ 和 $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=20$ 相交于 $A$，$B$ 两点，则直线 $AB$ 的方程是 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开第二个圆：$x^2+y^2-2x-6y-10=0$。
2. 公共弦所在直线（根轴）由两圆方程相减得到。
3. 化简。

✅【答案】

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$x+3y=0$

✍【详细解析】

Abstract

将第二个圆的方程展开： $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=20⟹x^2+y^2-2x-6y-10=0.$ $A$、$B$ 两点同时满足两个圆的方程，将两方程相减： $\left(x^2+y^2\right)-\left(x^2+y^2-2x-6y-10\right)=10-(-10)⟹2x+6y=0,$ 即公共弦 $AB$ 所在直线的方程为 $x+3y=0.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两圆公共弦

核心方法：两圆方程相减得根轴

避坑指南：第二个圆要先展开再相减；公共弦方程不含二次项

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆系与根轴

结论推广：两圆相交时方程之差为公共弦所在直线

方法推广：求公共弦不必求交点，直接相减

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.04 圆与圆的位置关系

类题演练(Links)

• 2009-天津卷文-14 填-圆与圆公共弦
• 2011-新课标卷文-20 解-圆的方程与垂直条件