2009-天津卷文-14 填-圆与圆公共弦

本题导读

考查公共弦。两圆方程相减得公共弦所在直线 $y=\frac{1}{a}$，弦心距 $\frac{1}{a}$，由 $2\sqrt{4-\frac{1}{a^2}}=2\sqrt{3}$ 得 $a=1$。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(文)） 若圆 $x^2+y^2=4$ 与圆 $x^2+y^2+2ay-6=0$（$a>0$）的公共弦的长为 $2\sqrt{3}$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 两方程相减：$2ay-2=0$，公共弦所在直线为 $y=\frac{1}{a}$。
2. 圆 $x^2+y^2=4$ 的圆心到该直线的距离 $d=\frac{1}{a}$。
3. 弦长 $2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{4-\frac{1}{a^2}}=2\sqrt{3}\Rightarrow \frac{1}{a^2}=1\Rightarrow a=1$。

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

两圆方程相减得 $2ay-2=0$，即公共弦所在直线为 $y=\frac{1}{a}$。 在圆 $x^2+y^2=4$ 中，圆心 $(0,0)$ 到该直线的距离 $d=\frac{1}{a}$，半径 $r=2$。 由弦长公式：$2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{4-\frac{1}{a^2}}=2\sqrt{3}$，故 $4-\frac{1}{a^2}=3$，即 $a^2=1$。 由 $a>0$ 得 $a=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆与圆的位置关系、公共弦

核心方法：方程相减得公共弦直线 + 弦心距勾股

避坑指南：两圆方程相减消去二次项得公共弦所在直线；弦长问题回到”半径、弦心距、半弦长”直角三角形。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：公共弦（根轴）是圆与圆位置的常考载体。

结论推广：$x^2+y^2=4$ 与 $x^2+y^2+2ay-6=0$ 相减得 $y=\frac{1}{a}$。

方法推广：公共弦长 $2\sqrt{r^2-d^2}$，$d$ 是圆心到公共弦直线的距离。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.04 圆与圆的位置关系
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2012-山东卷文-09 单-圆与圆的位置关系
• 2012-辽宁卷文-23 解-极坐标方程与公共弦
• 2013-新课标I卷文-21 解-椭圆与圆的公切线