2007-天津卷文-16 填-涂色问题

本题导读

本题考查排列组合应用（涂色问题），以及分类加法与分步乘法。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(文)） 如图，用 $6$ 种不同的颜色给图中的 $4$ 个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子颜色也不同．则不同的涂色方法共有 $\underline{}$种．（用数字作答）

🔍【思路分析】

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1. 格 1：$6$ 种；格 2（与格 1 相邻）：$5$ 种。
2. 格 3（与格 2 相邻）：分两类——与格 1 同色（$1$ 种选法）或不同色（$4$ 种选法）。
3. 格 4：与格 3 相邻且与格 1（两端）不同色：格 3=格 1 时避开 $1$ 色得 $5$ 种；格 3≠格 1 时避开 $2$ 色得 $4$ 种。
4. 分步相乘。

✅【答案】

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$630$

✍【详细解析】

Abstract

固定从左到右为格 1、2、3、4． 格 1 有 $6$ 种选法；格 2 与格 1 相邻，有 $5$ 种选法． 格 3（与格 2 相邻）分两类：

• 与格 1 同色：只有 $1$ 种选法；此时格 4 需与格 3（=格 1）不同（相邻约束）且与格 1 不同（两端约束），两个约束一致，故有 $5$ 种；
• 与格 1 不同色：有 $4$ 种选法；此时格 4 需同时避开格 3 与格 1 两种颜色，故有 $4$ 种． 固定前两格颜色后，后两格的有效选法数为 $1\times 5+4\times 4=21.$ 由分步乘法计数原理，不同的涂色方法共有 $6\times 5\times 21=630\text{种}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：涂色问题

核心方法：首格定色按同色与否分类

避坑指南：“两端颜色也不同”意味着格 4 有两个约束；分类后逐格计数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分类加法与分步乘法

结论推广：环形/链式涂色按”与首格同色与否”分类可递推

方法推广：涂色问题先固定第一格再分类，避免重漏

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练(Links)

• 2007-北京卷文-05 单-牌照计数
• 2013-北京卷理-12 填-排列组合应用