2007-天津卷文-20 解-递推构造等比数列

本题导读

本题考查递推数列构造等比数列。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(文)） 在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=2$，$a_{n+1}=4a_n-3n+1$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$． （1）证明数列 $\{a_n-n\}$ 是等比数列； （2）求数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$； （3）证明不等式 $S_{n+1}⩽4S_n$ 对任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 皆成立．

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）令 $b_n=a_n-n$，验证 $b_{n+1}=4b_n$。
2. （2）$a_n=4^{n-1}+n$，等比部分用求和公式、等差部分用公式，分组相加。
3. （3）$S_{n+1}⩽4S_n⟺3S_n⩾a_{n+1}$，作差分解因式 $(3n+4)(n-1)/2⩾0$。

✅【答案】

点击查看答案

（1）见解析（首项 $1$、公比 $4$）；（2）$S_n=\frac{4^n-1}{3}+\frac{n(n+1)}{2}$；（3）证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1） 令 $b_n=a_n-n$，则 $b_1=a_1-1=1$，且 $b_{n+1}=a_{n+1}-(n+1)=4a_n-3n+1-n-1=4(a_n-n)=4b_n,$ 故 $\{a_n-n\}$ 是首项为 $1$、公比为 $4$ 的等比数列． （2） 由（1）知 $a_n-n=4^{n-1}$，即 $a_n=4^{n-1}+n$．故 $S_n={\sum }_{k=1}^n\left(4^{k-1}+k\right)=\frac{4^n-1}{3}+\frac{n(n+1)}{2}.$ （3） $S_{n+1}⩽4S_n$ 等价于 $3S_n⩾a_{n+1}$（因 $S_{n+1}=S_n+a_{n+1}$）．而 $a_{n+1}=4^n+n+1$， $3S_n-a_{n+1}=4^n-1+\frac{3n(n+1)}{2}-(4^n+n+1)=\frac{3n^2+n-4}{2}=\frac{(3n+4)(n-1)}{2}⩾0,$ （$n⩾1$ 时 $3n+4>0$、$n-1⩾0$．）故 $S_{n+1}⩽4S_n$ 对任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 成立．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：递推构造等比数列

核心方法：构造 bn=an−n，分组求和作差

避坑指南：第(3)问化为 3Sₙ≥aₙ₊₁ 后作差因式分解 (3n+4)(n−1)/2

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列不等式与构造法

结论推广：aₙ₊₁=paₙ+qn+r 型可构造等比

方法推广：证明 Sₙ₊₁≤4Sₙ 先等价变形再作差

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练(Links)

• 2008-天津卷文-20 解-递推数列等差等比
• 2009-重庆卷文-21 解-递推数列放缩