2007-浙江卷文-19 解-方程根成对数列

本题导读

本题考查一元二次方程的根。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 中的相邻两项 $a_{2k-1}$，$a_{2k}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2-\left(3k+2^k\right)x+3k\cdot 2^k=0$ 的两个根，且 $a_{2k-1}⩽a_{2k}$（$k=1,2,3,\cdots$）． （1）求 $a_1$，$a_3$，$a_5$，$a_7$ 及 $a_{2n}$（$n⩾4$）（不必证明）； （2）求数列 $\{a_n\}$ 的前 $2n$ 项和 $S_{2n}$．

🔍【思路分析】

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1. 方程即 $(x-3k)\left(x-2^k\right)=0$，两根为 $3k$ 与 $2^k$。
2. （1）$k=1,2,3,4$ 逐对取根排序；再证 $n⩾4$ 时 $2^n>3n$（归纳：$2^{n+1}>6n>3(n+1)$），故 $a_{2n-1}=3n$，$a_{2n}=2^n$。
3. （2）韦达定理 $a_{2k-1}+a_{2k}=3k+2^k$，等差部分 $\sum 3k$ 与等比部分 $\sum 2^k$ 分组求和。

✅【答案】

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（1）$a_1=2$，$a_3=4$，$a_5=8$，$a_7=12$，$a_{2n}=2^n$（$n⩾4$）；（2）$S_{2n}=\frac{3n(n+1)}{2}+2^{n+1}-2$

✍【详细解析】

Abstract

（1）对任意正整数 $k$，方程 $x^2-\left(3k+2^k\right)x+3k\cdot 2^k=0$ 即 $\left(x-3k\right)\left(x-2^k\right)=0$，两根为 $3k$ 与 $2^k$． 当 $k=1$ 时，$a_1=2$，$a_2=3$；当 $k=2$ 时，$a_3=4$，$a_4=6$；当 $k=3$ 时，$a_5=8$，$a_6=9$；当 $k=4$ 时，$a_7=12$，$a_8=16$． 因此 $a_1=2$，$a_3=4$，$a_5=8$，$a_7=12$． 当 $n=4$ 时，$2^4=16>12=3\times 4$；若 $2^n>3n$（$n⩾4$），则 $2^{n+1}>6n>3(n+1)$，故对 $n⩾4$ 恒有 $2^n>3n$，从而 $a_{2n-1}=3n⩽a_{2n}=2^n$，即 $a_{2n}=2^n.$ （2）由韦达定理，每一对相邻项的和等于方程两根之和，因此 $S_{2n}={\sum }_{k=1}^n\left(a_{2k-1}+a_{2k}\right)={\sum }_{k=1}^n\left(3k+2^k\right).$ 等差部分 $\sum _{k=1}^{n}3k=\frac{3n(n+1)}{2}$，等比部分 $\sum _{k=1}^n{2}^k=2^{n+1}-2$． 所以 $S_{2n}=\frac{3n(n+1)}{2}+2^{n+1}-2.$ （检验：$n=1$，$S_2=2+3=5$，公式 $3+2=5$ 吻合；$n=3$，$S_6=2+3+4+6+8+9=32$，公式 $18+16-2=32$ 吻合。） 【注】原卷 PDF 文本层把 $2^k$ 的上标脱落，印作"$3k+2k$""$3k\cdot 2k$"；按官方答案数值（$a_5=8$，$a_6=9$，$a_7=12$，$a_8=16$，$a_{2n}=2^n$，$S_{2n}$ 合式）复核，方程两根实为 $3k$ 与 $2^k$，据此录入。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：方程根成对数列

核心方法：韦达定理给”每对之和”，归纳法定 $2^n$ 与 $3n$ 的大小关系定项

避坑指南：“不必证明”只豁免结论本身，$S_{2n}$ 仍需完整推导；分组求和时等差、等比公式别混

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“方程的根成对构成数列”是浙江卷数列创新题的经典构型

结论推广：韦达定理给出相邻项和/积，把数列求和转化为方程系数问题

方法推广：比较 $2^n$ 与 $3n$（或 $a^n$ 与 $bn+c$）的大小用归纳法或放缩，是定项的标准动作

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练(Links)

• 2007-北京卷文-16 解-递推数列等比条件
• 2007-天津卷文-20 解-递推构造等比数列
• 2007-辽宁卷文-20 解-递推数列构造求和
• 2008-北京卷文-20 解-递推数列符号与恒成立