2007-天津卷理-05 单-对数函数指数函数互化

本题导读

本题考查对数函数的反函数求解。求解反函数的核心在于“反解 $x$”与“互换 $x,y$”，同时必须严格遵循“原函数的值域即为反函数的定义域”这一基本原则。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(理)） 函数 $y={\log }_2(\sqrt{x+4}+2)$ ($x>0$) 的反函数是()

A. $y=4^x-2^{x+1}$ ($x>2$)　　　　　　B. $y=4^x-2^{x+1}$ ($x>1$)

C. $y=4^x-2^{x+2}$ ($x>2$)　　　　　　D. $y=4^x-2^{x+2}$ ($x>1$)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 首先由原函数的定义域 $x>0$ 求出其值域，该值域即为反函数的定义域，以此排除错误选项；
2. 将原解析式中的 $x$ 用 $y$ 表达出来（反解 $x$），最后进行字母 $x,y$ 互换得到反函数解析式。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解： 第一步：求原函数的值域（反函数的定义域） 因为 $x>0$，所以 $x+4>4$，从而 $\sqrt{x+4}>2$。 则 $\sqrt{x+4}+2>4$。 根据对数函数的单调性，有： $y={\log }_2(\sqrt{x+4}+2)>{\log }_{2}4=2$ 即原函数的值域为 $(2,+\infty )$，因此反函数的定义域为 $x>2$。（排除 B、D）

第二步：反解 $x$ 由 $y={\log }_2(\sqrt{x+4}+2)$，化为指数式得： $2^y=\sqrt{x+4}+2⟹\sqrt{x+4}=2^y-2$ 两边平方得： $x+4=(2^y-2{)}^2=(2^y{)}^2-4\cdot 2^y+4=4^y-2^{y+1}+4$ 移项化简得： $x=4^y-2^{y+1}$

第三步：互换字母并写出定义域 将 $x,y$ 互换，得反函数解析式为 $y=4^x-2^{x+1}$，其定义域为 $x>2$。 故选 (A)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数的求解步骤、指对数互化、复合函数的值域。
2. 核心方法：代数反解法。
3. 避坑指南：求反函数时最易遗漏或算错反函数的定义域。本题若不先求原函数的值域，单从解析式难以在 (A) 和 (B) 之间做出正确抉择。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于函数基础概念辨析题，直接改编自高中数学课本中关于反函数与指数、对数函数互化章节的经典练习。
2. 结论推广：函数 $y={\log }_a(f(x))$ 的反函数求解，关键在于通过 $a^y=f(x)$ 解出 $x=f^{-1}(a^y)$，并在最后补上对应的值域限制。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷I理-02 单-导数
• 2010-大纲卷II理-04 单-等差数列