2008-大纲卷I理-02 单-导数

本题导读

本题考查实际问题中函数图像的定性分析。核心是通过位移与时间的关系，利用导数（速度）的变化规律来判定曲线的凹凸性与走势。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(理)） 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 $s$ 看作时间 $t$ 的函数，其图像可能是 ()

A. 选项A图像　　B. 选项B图像　　C. 选项C图像　　D. 选项D图像

🔍【思路分析】

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1. 明确路程 $s$ 随时间 $t$ 的推移是单调递增的，据此可排除不合理的选项。
2. 根据各阶段的速度变化特点，分析图像切线斜率 $k=\frac{\text{d}s}{\text{d}t}=v$ 的递增、恒定与递减状态，对应曲线的凹凸性进行筛选。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

首先，汽车行驶路程 $s$ 随时间 $t$ 的增加而增加，不可能减少，故排除 D 项。 其次，各阶段的速度 $v$（即 $s-t$ 图像的切线斜率）变化如下：

1. 启动、加速行驶：速度 $v$ 逐渐增大，图像的切线斜率逐渐变陡（曲线下凸）；
2. 匀速行驶：速度 $v$ 保持常数且大于 0，图像为一段向右上倾斜的直线段；
3. 减速行驶之后停车：速度 $v$ 逐渐减小至 0，图像的切线斜率逐渐变缓直至水平（曲线上凸）。 分析选项，A 图像完美契合“先变陡、再变直、最后变缓”的特征。 B 选项最后阶段切线变陡（加速），C 选项中间路程不随时间变化（中途停车），均不符合题意。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：路程-时间图像与速度的关系。
2. 核心方法：切线斜率变化分析法。
3. 避坑指南：不要混淆路程-时间图像（$s-t$）与速度-时间图像（$v-t$）。如果是 $v-t$ 图像，则对应的应是梯形或梯形平滑化后的曲线。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自物理学中运动学图像与微积分初步中导数几何意义的跨学科结合。
2. 结论推广：若某连续运动过程经历 $\text{I}$ 阶加速、$\text{II}$ 阶匀速、$\text{III}$ 阶减速，则位移函数在区间内的二阶导数符号呈现 $\frac{{\text{d}}^{2}s}{\text{d}{t}^2}>0\to \frac{{\text{d}}^{2}s}{\text{d}{t}^2}=0\to \frac{{\text{d}}^{2}s}{\text{d}{t}^2}<0$ 的变化特征。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-19 解-偶函数与导数
• 2010-安徽卷文-20 解-三角函数导数单调极值
• 2010-重庆卷文-19 解-奇函数导数最值